Страница 27 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит один из катетов на отрезки длиной 25 см и 20 см. Найдите периметр треугольника.

191. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит один из катетов на отрезки длиной 25 см и 20 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.

Биссектриса острого угла делит противолежащий этому углу катет. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Биссектриса угла A делит катет BC.

Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$, точка $L$ лежит на катете $BC$. Биссектриса делит катет $BC$ на отрезки $CL$ и $LB$ длинами 20 см и 25 см.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$\frac{AC}{AB} = \frac{CL}{LB}$

В прямоугольном треугольнике гипотенуза $AB$ длиннее катета $AC$. Следовательно, $AB > AC$, а значит $\frac{AC}{AB} < 1$. Из этого следует, что $\frac{CL}{LB} < 1$, то есть $CL < LB$.

Таким образом, меньший отрезок $CL$, прилегающий к прямому углу, равен 20 см, а больший отрезок $LB$ равен 25 см.Длина катета $BC = CL + LB = 20 + 25 = 45$ см.

Обозначим длины сторон: $a = BC = 45$ см, $b = AC$, $c = AB$.Из свойства биссектрисы имеем:$\frac{b}{c} = \frac{CL}{LB} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$Отсюда $c = \frac{5}{4}b$.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:$45^2 + b^2 = (\frac{5}{4}b)^2$$2025 + b^2 = \frac{25}{16}b^2$$2025 = \frac{25}{16}b^2 - b^2$$2025 = \frac{9}{16}b^2$$b^2 = \frac{2025 \cdot 16}{9} = 225 \cdot 16 = 3600$$b = \sqrt{3600} = 60$ см.Итак, катет $AC = 60$ см.

Теперь найдем гипотенузу $AB$:$c = \frac{5}{4}b = \frac{5}{4} \cdot 60 = 5 \cdot 15 = 75$ см.

Стороны треугольника равны 45 см, 60 см и 75 см.

Случай 2: Биссектриса угла B делит катет AC.

Этот случай полностью симметричен первому. Рассуждая аналогично, мы получим, что катет, который делится биссектрисой ($AC$), будет равен $20 + 25 = 45$ см, а второй катет ($BC$) будет равен 60 см. Гипотенуза $AB$ останется равной 75 см. То есть мы получим тот же самый треугольник, только с катетами, поменявшимися местами.

В обоих случаях мы получили треугольник с катетами 45 см и 60 см и гипотенузой 75 см. Найдем его периметр.

Периметр $P = a + b + c = 45 + 60 + 75 = 180$ см.

Ответ: 180 см.

192. Постройте отрезок $x$, если $x = \sqrt{4a^2 - b^2}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков ($a > b$).

192. Постройте отрезок x, если $x = \sqrt{4a^2 - b^2}$, где a и b — длины данных отрезков ($a > b$).

Анализ

Задача состоит в построении отрезка $x$, длина которого определяется формулой $x = \sqrt{4a^2 - b^2}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков. Преобразуем эту формулу. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = 4a^2 - b^2$

Перенесем $b^2$ в левую часть:

$x^2 + b^2 = 4a^2$

Так как $4a^2 = (2a)^2$, уравнение принимает вид:

$x^2 + b^2 = (2a)^2$

Это уравнение является математической записью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого катеты имеют длины $x$ и $b$, а гипотенуза имеет длину $2a$. Таким образом, чтобы построить отрезок $x$, нам необходимо построить прямоугольный треугольник по известному катету (длиной $b$) и известной гипотенузе (длиной $2a$). Второй катет этого треугольника и будет искомым отрезком $x$.

Построение

1. Построим отрезок длиной $2a$. Для этого на произвольной прямой отложим от любой её точки $O$ отрезок $OP$, равный $a$. Затем от точки $P$ отложим в том же направлении отрезок $PQ$, равный $a$. Отрезок $OQ$ будет иметь длину $2a$.
2. Построим прямой угол. Для этого проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $C$. С помощью циркуля и линейки построим прямую $m$, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим от точки $C$ отрезок $CA$, длина которого равна длине данного отрезка $b$.
4. Возьмем циркуль и установим его раствор равным длине построенного отрезка $2a$.
5. Поместив острие циркуля в точку $A$, проведем дугу так, чтобы она пересекла прямую $l$. Назовем точку пересечения $B$. (Такая точка пересечения существует, так как по условию $a > b$, что означает $2a > 2b$. Поскольку $b > 0$, то $2b > b$, и, следовательно, $2a > b$. Длина гипотенузы $2a$ больше длины катета $b$, поэтому построение возможно).
6. Соединим точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$.

Отрезок $CB$ является искомым отрезком $x$.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ угол $\angle C$ является прямым по построению. Длина катета $AC$ равна $b$, а длина гипотенузы $AB$ равна $2a$ (также по построению). Согласно теореме Пифагора:

$|AC|^2 + |CB|^2 = |AB|^2$

Подставляя известные длины, получаем:

$b^2 + |CB|^2 = (2a)^2$

Выразим длину катета $CB$:

$|CB|^2 = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

$|CB| = \sqrt{4a^2 - b^2}$

Следовательно, длина отрезка $CB$ равна $x$. Построение выполнено верно.

Ответ: Отрезок $CB$, построенный указанным способом, является искомым отрезком $x$.

193. Постройте угол:

1) косинус которого равен $\frac{6}{7}$;

2) тангенс которого равен $\frac{3}{5}$.

193. Постройте угол:

1) косинус которого равен $\frac{6}{7}$;

2) тангенс которого равен $\frac{3}{5}$.

1) косинус которого равен $\frac{6}{7}$;

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Чтобы построить угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{6}{7}$, необходимо построить прямоугольный треугольник, у которого прилежащий к этому углу катет равен 6 условным единицам, а гипотенуза — 7 условным единицам.

Порядок построения:

1. Проведем произвольный луч с началом в точке A.
2. Выберем произвольный отрезок в качестве единицы измерения. С помощью циркуля отложим на этом луче отрезок AB, равный 6 выбранным единицам.
3. В точке B построим прямую, перпендикулярную лучу AB.
4. Установим на циркуле расстояние, равное 7 выбранным единицам. Проведем дугу окружности с центром в точке A так, чтобы она пересекла перпендикуляр. Обозначим точку пересечения буквой C.
5. Соединим точки A и C.

В полученном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, катет AB равен 6 единицам, а гипотенуза AC равна 7 единицам. По определению косинуса, для угла CAB имеем:
$\cos(\angle CAB) = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{7}$

Следовательно, угол CAB — искомый угол.

Ответ: Построенный угол $\angle CAB$ является искомым.

2) тангенс которого равен $\frac{3}{5}$.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Чтобы построить угол $\beta$, тангенс которого равен $\frac{3}{5}$, необходимо построить прямоугольный треугольник, у которого катет, противолежащий этому углу, равен 3 условным единицам, а катет, прилежащий к нему, — 5 условным единицам.

Порядок построения:

1. Построим прямой угол с вершиной в точке B.
2. Выберем произвольный отрезок в качестве единицы измерения. На одной стороне угла отложим от вершины B отрезок BA, равный 5 выбранным единицам.
3. На другой стороне угла отложим от вершины B отрезок BC, равный 3 таким же единицам.
4. Соединим точки A и C.

В полученном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, катет BC (противолежащий углу BAC) равен 3 единицам, а катет AB (прилежащий к углу BAC) равен 5 единицам. По определению тангенса, для угла BAC имеем:
$\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$

Следовательно, угол BAC — искомый угол.

Ответ: Построенный угол $\angle BAC$ является искомым.

194. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 5 см и 13 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего меньшему катету;

2) косинус угла, прилежащего к большему катету;

3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету.

194. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 5 см и 13 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего меньшему катету;

2) косинус угла, прилежащего к большему катету;

3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого один катет равен 5 см, а гипотенуза равна 13 см. Обозначим этот катет как $a = 5$ см, а гипотенузу как $c = 13$ см.

Для решения задачи сначала необходимо найти длину второго катета, обозначим его $b$. Воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения:
$5^2 + b^2 = 13^2$
$25 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 25$
$b^2 = 144$
$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника:

• меньший катет $a = 5$ см;
• больший катет $b = 12$ см;
• гипотенуза $c = 13$ см.

Пусть $\alpha$ — это угол, противолежащий меньшему катету ($a=5$), а $\beta$ — угол, противолежащий большему катету ($b=12$).

1) синус угла, противолежащего меньшему катету;
Нужно найти синус угла $\alpha$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}$.
Ответ: $\frac{5}{13}$.

2) косинус угла, прилежащего к большему катету;
Больший катет — это $b=12$ см. Острый угол, прилежащий к этому катету, — это угол $\alpha$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\frac{12}{13}$.

3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету.
Угол, противолежащий меньшему катету ($a=5$), — это угол $\alpha$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$.

195. Найдите значение выражения:

1) $sin^2 45^\circ - cos^2 60^\circ$;

2) $2ctg^2 30^\circ + tg 45^\circ$.

195. Найдите значение выражения:

1) $\sin^2 45^\circ - \cos^2 60^\circ$;

2) $2\cot^2 30^\circ + \tan 45^\circ$.

1) Для того чтобы найти значение выражения $sin^2 45° - cos^2 60°$, необходимо использовать известные значения тригонометрических функций для данных углов.
Из тригонометрической таблицы мы знаем, что:
$sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos 60° = \frac{1}{2}$
Теперь подставим эти значения в наше выражение. Важно помнить, что запись $sin^2 45°$ эквивалентна $(sin 45°)^2$.
$sin^2 45° - cos^2 60° = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$
Возведем в квадрат каждую из дробей:
$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) Чтобы найти значение выражения $2ctg^2 30° + tg 45°$, также воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.
Известные значения:
$ctg 30° = \sqrt{3}$
$tg 45° = 1$
Подставим эти значения в выражение, учитывая, что $ctg^2 30°$ это $(ctg 30°)^2$.
$2ctg^2 30° + tg 45° = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + 1$
Сначала возведем в квадрат котангенс:
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Теперь подставим это значение обратно в выражение и выполним оставшиеся арифметические действия:
$2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$
Ответ: $7$.

196. Найдите $\sin\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{4}$.

196. Найдите $ \sin\alpha $, $ \operatorname{tg}\alpha $ и $ \operatorname{ctg}\alpha $, если $ \cos\alpha = \frac{1}{4} $.

sinα
Для нахождения $sinα$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2α + cos^2α = 1$.
Подставим в него известное значение $cosα = \frac{1}{4}$:
$sin^2α + (\frac{1}{4})^2 = 1$
$sin^2α + \frac{1}{16} = 1$
$sin^2α = 1 - \frac{1}{16}$
$sin^2α = \frac{15}{16}$
Поскольку в условии не указана четверть, в которой находится угол $α$, $sinα$ может быть как положительным (в I четверти), так и отрицательным (в IV четверти). Поэтому мы получаем два возможных значения:
$sinα = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.
Ответ: $sinα = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.

tgα
Для нахождения $tgα$ используем формулу $tgα = \frac{sinα}{cosα}$.
Так как $sinα$ имеет два возможных значения, для $tgα$ мы также получим два значения:
1. Если $sinα = \frac{\sqrt{15}}{4}$, то $tgα = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15}$.
2. Если $sinα = -\frac{\sqrt{15}}{4}$, то $tgα = \frac{-\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = -\sqrt{15}$.
Ответ: $tgα = \pm\sqrt{15}$.

ctgα
Для нахождения $ctgα$ используем формулу $ctgα = \frac{1}{tgα}$.
Подставим найденные значения $tgα$:
1. Если $tgα = \sqrt{15}$, то $ctgα = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.
2. Если $tgα = -\sqrt{15}$, то $ctgα = \frac{1}{-\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15}$.
Ответ: $ctgα = \pm\frac{\sqrt{15}}{15}$.

197. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = 2 $.

197. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = 2 $.

По условию задачи дано, что $tgα = 2$. Необходимо найти $sinα$, $cosα$ и $ctgα$. Решим задачу, последовательно находя каждую из требуемых тригонометрических функций.

ctgα

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $ctgα = \frac{1}{tgα}$. Подставив известное значение $tgα = 2$, получим:

$ctgα = \frac{1}{2}$

Ответ: $ctgα = \frac{1}{2}$.

cosα

Для нахождения косинуса воспользуемся тождеством $1 + tg^2α = \frac{1}{cos^2α}$. Подставим в него значение $tgα = 2$:

$1 + 2^2 = \frac{1}{cos^2α}$

$1 + 4 = \frac{1}{cos^2α}$

$5 = \frac{1}{cos^2α}$

Отсюда выражаем $cos^2α$:

$cos^2α = \frac{1}{5}$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $cosα$. Поскольку $tgα = 2$ (положительное значение), угол $α$ может находиться либо в первой, либо в третьей координатной четверти. В первой четверти косинус положителен, а в третьей — отрицателен. Поэтому:

$cosα = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $cosα = \frac{\sqrt{5}}{5}$ или $cosα = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

sinα

Для нахождения синуса используем определение тангенса: $tgα = \frac{sinα}{cosα}$, откуда $sinα = tgα \cdot cosα$. Значение синуса зависит от значения косинуса, поэтому рассмотрим два случая. Знаки синуса и косинуса должны совпадать, так как их отношение (тангенс) положительно.

Если $cosα = \frac{\sqrt{5}}{5}$ (угол $α$ в первой четверти), то:

$sinα = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Если $cosα = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ (угол $α$ в третьей четверти), то:

$sinα = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $sinα = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ или $sinα = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

198. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковая сторона — 5 см. Найдите синус угла при основании треугольника.

198. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковая сторона — 5 см. Найдите синус угла при основании треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, длина основания $AC = 6$ см, а длины боковых сторон $AB = BC = 5$ см. Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Необходимо найти синус угла при основании, например, $\sin(\angle BAC)$.

Для решения задачи проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AC$ пополам:

$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника: $ABH$ и $CBH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, где $\angle AHB = 90^\circ$. В этом треугольнике известны гипотенуза $AB = 5$ см и катет $AH = 3$ см. Найдем второй катет $BH$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$BH = \sqrt{16} = 4$ см.

Синус угла при основании ($\angle BAC$) в прямоугольном треугольнике $ABH$ равен отношению противолежащего катета ($BH$) к гипотенузе ($AB$):

$\sin(\angle BAC) = \frac{BH}{AB} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

199. В равнобокой трапеции ABCD известно, что $AB = CD = 4 \text{ см}$, $BC = 6 \text{ см}$, $AD = 10 \text{ см}$. Найдите углы трапеции.

199. В равнобокой трапеции ABCD известно, что $AB = CD = 4$ см, $BC = 6$ см, $AD = 10$ см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи известны длины сторон: боковые стороны $AB = CD = 4$ см, меньшее основание $BC = 6$ см, большее основание $AD = 10$ см.

Для нахождения углов трапеции проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а высоты перпендикулярны основанию ($BH \perp AD$ и $CK \perp AD$), то четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником. Из этого следует, что противолежащие стороны равны: $HK = BC = 6$ см.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, то прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету, так как $AB=CD$ по условию, а $BH=CK$ как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = KD$.

Длина большего основания $AD$ складывается из длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$: $AD = AH + HK + KD$. Заменим $KD$ на $AH$ и подставим известные значения:

$10 = AH + 6 + AH$

$10 = 2 \cdot AH + 6$

$2 \cdot AH = 10 - 6$

$2 \cdot AH = 4$

$AH = 2$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Мы знаем длину гипотенузы $AB = 4$ см и катета $AH = 2$ см, прилежащего к углу $\angle A$. Мы можем найти величину угла $\angle A$ через косинус:

$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $60^\circ$. Следовательно, $\angle A = 60^\circ$.

В равнобокой трапеции углы при основаниях равны. Значит, угол при другом конце большего основания также равен $60^\circ$:

$\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем углы при меньшем основании:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Таким образом, углы трапеции $A, B, C, D$ равны соответственно $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$ и $60^\circ$.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника $ABC (\angle C = 90^\circ)$, если:

1) $BC = 2$ см, $\cos B = \frac{2}{3}$;

2) $AC = 3$ см, $\sin B = \frac{1}{4}$;

3) $AC = 4$ см, $\operatorname{ctg} B = 2$;

4) $AB = 8$ см, $\cos A = \frac{5}{8}$;

5) $AC = 2$ см, $\sin A = \frac{3}{5}$;

6) $AB = 6$ см, $\operatorname{tg} A = \frac{12}{13}$.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника $ABC (\angle C = 90^\circ)$, если:

1) $BC = 2$ см, $cosB = \frac{2}{3}$;

2) $AC = 3$ см, $sinB = \frac{1}{4}$;

3) $AC = 4$ см, $ctgB = 2$;

4) $AB = 8$ см, $cosA = \frac{5}{8}$;

5) $AC = 2$ см, $sinA = \frac{3}{5}$;

6) $AB = 6$ см, $tgA = \frac{12}{13}$.

Для решения задачи воспользуемся определениями тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C ($\angle C = 90^\circ$) и теоремой Пифагора.

• Синус острого угла: $\sin A = \frac{BC}{AB}$, $\sin B = \frac{AC}{AB}$
• Косинус острого угла: $\cos A = \frac{AC}{AB}$, $\cos B = \frac{BC}{AB}$
• Тангенс острого угла: $\tan A = \frac{BC}{AC}$
• Котангенс острого угла: $\cot B = \frac{BC}{AC}$
• Теорема Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$
• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Дано: $BC = 2$ см, $\cos B = \frac{2}{3}$.
Необходимо найти AC и AB.

1. Из определения косинуса для угла B имеем: $\cos B = \frac{BC}{AB}$.
Подставляем известные значения: $\frac{2}{3} = \frac{2}{AB}$.
Отсюда находим гипотенузу AB: $2 \cdot AB = 2 \cdot 3$, следовательно, $AB = 3$ см.

2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, найдём катет AC:
$AC^2 + 2^2 = 3^2$
$AC^2 + 4 = 9$
$AC^2 = 5$
$AC = \sqrt{5}$ см.

Ответ: $AB = 3$ см, $AC = \sqrt{5}$ см.

Дано: $AC = 3$ см, $\sin B = \frac{1}{4}$.
Необходимо найти BC и AB.

1. Из определения синуса для угла B: $\sin B = \frac{AC}{AB}$.
Подставляем известные значения: $\frac{1}{4} = \frac{3}{AB}$.
Отсюда находим гипотенузу AB: $AB = 3 \cdot 4 = 12$ см.

2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, найдём катет BC:
$3^2 + BC^2 = 12^2$
$9 + BC^2 = 144$
$BC^2 = 144 - 9 = 135$
$BC = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ см.

Ответ: $AB = 12$ см, $BC = 3\sqrt{15}$ см.

Дано: $AC = 4$ см, $\cot B = 2$.
Необходимо найти BC и AB.

1. Из определения котангенса для угла B: $\cot B = \frac{BC}{AC}$.
Подставляем известные значения: $2 = \frac{BC}{4}$.
Отсюда находим катет BC: $BC = 2 \cdot 4 = 8$ см.

2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, найдём гипотенузу AB:
$4^2 + 8^2 = AB^2$
$16 + 64 = AB^2$
$AB^2 = 80$
$AB = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $BC = 8$ см, $AB = 4\sqrt{5}$ см.

Дано: $AB = 8$ см, $\cos A = \frac{5}{8}$.
Необходимо найти AC и BC.

1. Из определения косинуса для угла A: $\cos A = \frac{AC}{AB}$.
Подставляем известные значения: $\frac{5}{8} = \frac{AC}{8}$.
Отсюда находим катет AC: $AC = 5$ см.

2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, найдём катет BC:
$5^2 + BC^2 = 8^2$
$25 + BC^2 = 64$
$BC^2 = 64 - 25 = 39$
$BC = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $AC = 5$ см, $BC = \sqrt{39}$ см.

Дано: $AC = 2$ см, $\sin A = \frac{3}{5}$.
Необходимо найти BC и AB.

1. Сначала найдём $\cos A$ через основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как A - острый угол, $\cos A > 0$, поэтому $\cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

2. Теперь, используя определение косинуса $\cos A = \frac{AC}{AB}$, найдём гипотенузу AB:
$\frac{4}{5} = \frac{2}{AB}$
$4 \cdot AB = 10$, откуда $AB = \frac{10}{4} = 2.5$ см.

3. Наконец, из определения синуса $\sin A = \frac{BC}{AB}$, найдём катет BC:
$\frac{3}{5} = \frac{BC}{2.5}$
$5 \cdot BC = 3 \cdot 2.5 = 7.5$, откуда $BC = \frac{7.5}{5} = 1.5$ см.

Ответ: $AB = 2.5$ см, $BC = 1.5$ см.

Дано: $AB = 6$ см, $\tan A = \frac{12}{13}$.
Необходимо найти AC и BC.

1. Из определения тангенса $\tan A = \frac{BC}{AC}$, имеем соотношение катетов $\frac{BC}{AC} = \frac{12}{13}$.
Введём коэффициент пропорциональности $x$, тогда $BC = 12x$ и $AC = 13x$.

2. Подставим эти выражения в теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:
$(13x)^2 + (12x)^2 = 6^2$
$169x^2 + 144x^2 = 36$
$313x^2 = 36$
$x^2 = \frac{36}{313}$
$x = \sqrt{\frac{36}{313}} = \frac{6}{\sqrt{313}}$.

3. Найдём длины катетов, подставив значение $x$:
$AC = 13x = 13 \cdot \frac{6}{\sqrt{313}} = \frac{78}{\sqrt{313}} = \frac{78\sqrt{313}}{313}$ см.
$BC = 12x = 12 \cdot \frac{6}{\sqrt{313}} = \frac{72}{\sqrt{313}} = \frac{72\sqrt{313}}{313}$ см.

Ответ: $AC = \frac{78\sqrt{313}}{313}$ см, $BC = \frac{72\sqrt{313}}{313}$ см.