Номер 191, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит один из катетов на отрезки длиной 25 см и 20 см. Найдите периметр треугольника.

191. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит один из катетов на отрезки длиной 25 см и 20 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.

Биссектриса острого угла делит противолежащий этому углу катет. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Биссектриса угла A делит катет BC.

Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$, точка $L$ лежит на катете $BC$. Биссектриса делит катет $BC$ на отрезки $CL$ и $LB$ длинами 20 см и 25 см.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$\frac{AC}{AB} = \frac{CL}{LB}$

В прямоугольном треугольнике гипотенуза $AB$ длиннее катета $AC$. Следовательно, $AB > AC$, а значит $\frac{AC}{AB} < 1$. Из этого следует, что $\frac{CL}{LB} < 1$, то есть $CL < LB$.

Таким образом, меньший отрезок $CL$, прилегающий к прямому углу, равен 20 см, а больший отрезок $LB$ равен 25 см.Длина катета $BC = CL + LB = 20 + 25 = 45$ см.

Обозначим длины сторон: $a = BC = 45$ см, $b = AC$, $c = AB$.Из свойства биссектрисы имеем:$\frac{b}{c} = \frac{CL}{LB} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$Отсюда $c = \frac{5}{4}b$.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:$45^2 + b^2 = (\frac{5}{4}b)^2$$2025 + b^2 = \frac{25}{16}b^2$$2025 = \frac{25}{16}b^2 - b^2$$2025 = \frac{9}{16}b^2$$b^2 = \frac{2025 \cdot 16}{9} = 225 \cdot 16 = 3600$$b = \sqrt{3600} = 60$ см.Итак, катет $AC = 60$ см.

Теперь найдем гипотенузу $AB$:$c = \frac{5}{4}b = \frac{5}{4} \cdot 60 = 5 \cdot 15 = 75$ см.

Стороны треугольника равны 45 см, 60 см и 75 см.

Случай 2: Биссектриса угла B делит катет AC.

Этот случай полностью симметричен первому. Рассуждая аналогично, мы получим, что катет, который делится биссектрисой ($AC$), будет равен $20 + 25 = 45$ см, а второй катет ($BC$) будет равен 60 см. Гипотенуза $AB$ останется равной 75 см. То есть мы получим тот же самый треугольник, только с катетами, поменявшимися местами.

В обоих случаях мы получили треугольник с катетами 45 см и 60 см и гипотенузой 75 см. Найдем его периметр.

Периметр $P = a + b + c = 45 + 60 + 75 = 180$ см.

Ответ: 180 см.