Номер 190, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Точки M и N лежат в разных полуплоскостях относительно прямой a. Из этих точек к прямой a проведены перпендикуляры MK и NF. Найдите отрезок KF, если $MK = 3 \text{ см}, NF = 2 \text{ см}, MN = 13 \text{ см}$.

190. Точки $M$ и $N$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $a$. Из этих точек к прямой $a$ проведены перпендикуляры $MK$ и $NF$. Найдите отрезок $KF$, если $MK = 3$ см, $NF = 2$ см, $MN = 13$ см.

Поскольку точки M и N лежат в разных полуплоскостях относительно прямой a, а перпендикуляры MK и NF проведены к этой прямой, то отрезки MK и NF параллельны друг другу. Фигура MKFN является трапецией с основаниями MK и NF.

Для нахождения отрезка KF, который является частью прямой a, мы можем использовать дополнительное построение. Проведем из точки N прямую, параллельную прямой a, до пересечения с продолжением отрезка MK в точке P.

Рассмотрим получившийся четырехугольник KPNF. По построению $NP \parallel KF$. Так как $MK \perp a$ и $NF \perp a$, то $MK \parallel NF$, а значит и прямая $MP \parallel NF$. Поскольку противоположные стороны четырехугольника KPNF попарно параллельны, а угол $\angle MKF = 90^\circ$, то KPNF — прямоугольник. Из этого следует, что $KF = NP$ и $KP = NF = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MPN$. Так как прямая MP (продолжение MK) перпендикулярна прямой a, а прямая NP параллельна прямой a, то $MP \perp NP$. Следовательно, $\triangle MPN$ — прямоугольный треугольник с прямым углом P.

Найдем длины катетов этого треугольника:

• Катет MP равен сумме длин отрезков MK и KP: $MP = MK + KP = 3 + 2 = 5$ см.
• Катет NP равен искомому отрезку KF.

Гипотенуза MN по условию равна 13 см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle MPN$:

$MN^2 = MP^2 + NP^2$

Подставим известные значения:

$13^2 = 5^2 + NP^2$

$169 = 25 + NP^2$

$NP^2 = 169 - 25$

$NP^2 = 144$

$NP = \sqrt{144} = 12$ см.

Так как $KF = NP$, то $KF = 12$ см.

Ответ: 12 см.