Номер 189, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 4 см, имеют одну общую точку $A$ (рис. 32). Прямая $b$ касается этих окружностей в точках $M$ и $N$. Найдите отрезок $MN$.

Рис. 32

189. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 4 см, имеют одну общую точку A (рис. 32). Прямая b касается этих окружностей в точках M и N. Найдите отрезок MN.

Рис. 32

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы. По условию задачи, $R_1 = 9$ см и $R_2 = 4$ см. Окружности имеют одну общую точку касания $A$, следовательно, они касаются внешним образом. Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = R_1 + R_2 = 9 + 4 = 13$ см.

Проведем радиусы $O_1M$ и $O_2N$ к точкам касания с прямой $b$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $O_1M \perp b$ и $O_2N \perp b$. Из этого следует, что $O_1M \parallel O_2N$, и четырехугольник $O_1MNO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1M=9$ см и $O_2N=4$ см и боковыми сторонами $MN$ и $O_1O_2$.

Для нахождения длины отрезка $MN$ проведем из центра меньшей окружности $O_2$ перпендикуляр $O_2K$ к радиусу $O_1M$. Получим прямоугольник $MNO_2K$ и прямоугольный треугольник $O_1KO_2$.

В прямоугольнике $MNO_2K$ стороны $MN$ и $O_2K$ равны, то есть $MN = O_2K$. Также $MK = O_2N = R_2 = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1KO_2$, где $\angle O_1KO_2 = 90^\circ$:

• Гипотенуза $O_1O_2 = 13$ см.
• Катет $O_1K$ равен разности радиусов: $O_1K = O_1M - MK = R_1 - R_2 = 9 - 4 = 5$ см.
• Катет $O_2K$ равен искомому отрезку $MN$.

По теореме Пифагора $(O_1O_2)^2 = (O_1K)^2 + (O_2K)^2$.

Выразим $O_2K$:

$(O_2K)^2 = (O_1O_2)^2 - (O_1K)^2$

$(O_2K)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$O_2K = \sqrt{144} = 12$ см.

Так как $MN = O_2K$, то $MN = 12$ см.

Ответ: 12 см.