Номер 193, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Постройте угол:

1) косинус которого равен $\frac{6}{7}$;

2) тангенс которого равен $\frac{3}{5}$.

193. Постройте угол:

1) косинус которого равен $\frac{6}{7}$;

2) тангенс которого равен $\frac{3}{5}$.

1) косинус которого равен $\frac{6}{7}$;

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Чтобы построить угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{6}{7}$, необходимо построить прямоугольный треугольник, у которого прилежащий к этому углу катет равен 6 условным единицам, а гипотенуза — 7 условным единицам.

Порядок построения:

1. Проведем произвольный луч с началом в точке A.
2. Выберем произвольный отрезок в качестве единицы измерения. С помощью циркуля отложим на этом луче отрезок AB, равный 6 выбранным единицам.
3. В точке B построим прямую, перпендикулярную лучу AB.
4. Установим на циркуле расстояние, равное 7 выбранным единицам. Проведем дугу окружности с центром в точке A так, чтобы она пересекла перпендикуляр. Обозначим точку пересечения буквой C.
5. Соединим точки A и C.

В полученном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, катет AB равен 6 единицам, а гипотенуза AC равна 7 единицам. По определению косинуса, для угла CAB имеем:
$\cos(\angle CAB) = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{7}$

Следовательно, угол CAB — искомый угол.

Ответ: Построенный угол $\angle CAB$ является искомым.

2) тангенс которого равен $\frac{3}{5}$.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Чтобы построить угол $\beta$, тангенс которого равен $\frac{3}{5}$, необходимо построить прямоугольный треугольник, у которого катет, противолежащий этому углу, равен 3 условным единицам, а катет, прилежащий к нему, — 5 условным единицам.

Порядок построения:

1. Построим прямой угол с вершиной в точке B.
2. Выберем произвольный отрезок в качестве единицы измерения. На одной стороне угла отложим от вершины B отрезок BA, равный 5 выбранным единицам.
3. На другой стороне угла отложим от вершины B отрезок BC, равный 3 таким же единицам.
4. Соединим точки A и C.

В полученном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, катет BC (противолежащий углу BAC) равен 3 единицам, а катет AB (прилежащий к углу BAC) равен 5 единицам. По определению тангенса, для угла BAC имеем:
$\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$

Следовательно, угол BAC — искомый угол.

Ответ: Построенный угол $\angle BAC$ является искомым.