Номер 197, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = 2 $.

197. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = 2 $.

По условию задачи дано, что $tgα = 2$. Необходимо найти $sinα$, $cosα$ и $ctgα$. Решим задачу, последовательно находя каждую из требуемых тригонометрических функций.

ctgα

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $ctgα = \frac{1}{tgα}$. Подставив известное значение $tgα = 2$, получим:

$ctgα = \frac{1}{2}$

Ответ: $ctgα = \frac{1}{2}$.

cosα

Для нахождения косинуса воспользуемся тождеством $1 + tg^2α = \frac{1}{cos^2α}$. Подставим в него значение $tgα = 2$:

$1 + 2^2 = \frac{1}{cos^2α}$

$1 + 4 = \frac{1}{cos^2α}$

$5 = \frac{1}{cos^2α}$

Отсюда выражаем $cos^2α$:

$cos^2α = \frac{1}{5}$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $cosα$. Поскольку $tgα = 2$ (положительное значение), угол $α$ может находиться либо в первой, либо в третьей координатной четверти. В первой четверти косинус положителен, а в третьей — отрицателен. Поэтому:

$cosα = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $cosα = \frac{\sqrt{5}}{5}$ или $cosα = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

sinα

Для нахождения синуса используем определение тангенса: $tgα = \frac{sinα}{cosα}$, откуда $sinα = tgα \cdot cosα$. Значение синуса зависит от значения косинуса, поэтому рассмотрим два случая. Знаки синуса и косинуса должны совпадать, так как их отношение (тангенс) положительно.

Если $cosα = \frac{\sqrt{5}}{5}$ (угол $α$ в первой четверти), то:

$sinα = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Если $cosα = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ (угол $α$ в третьей четверти), то:

$sinα = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $sinα = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ или $sinα = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.