Номер 200, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника $ABC (\angle C = 90^\circ)$, если:

1) $BC = 2$ см, $\cos B = \frac{2}{3}$;

2) $AC = 3$ см, $\sin B = \frac{1}{4}$;

3) $AC = 4$ см, $\operatorname{ctg} B = 2$;

4) $AB = 8$ см, $\cos A = \frac{5}{8}$;

5) $AC = 2$ см, $\sin A = \frac{3}{5}$;

6) $AB = 6$ см, $\operatorname{tg} A = \frac{12}{13}$.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника $ABC (\angle C = 90^\circ)$, если:

1) $BC = 2$ см, $cosB = \frac{2}{3}$;

2) $AC = 3$ см, $sinB = \frac{1}{4}$;

3) $AC = 4$ см, $ctgB = 2$;

4) $AB = 8$ см, $cosA = \frac{5}{8}$;

5) $AC = 2$ см, $sinA = \frac{3}{5}$;

6) $AB = 6$ см, $tgA = \frac{12}{13}$.

Для решения задачи воспользуемся определениями тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C ($\angle C = 90^\circ$) и теоремой Пифагора.

• Синус острого угла: $\sin A = \frac{BC}{AB}$, $\sin B = \frac{AC}{AB}$
• Косинус острого угла: $\cos A = \frac{AC}{AB}$, $\cos B = \frac{BC}{AB}$
• Тангенс острого угла: $\tan A = \frac{BC}{AC}$
• Котангенс острого угла: $\cot B = \frac{BC}{AC}$
• Теорема Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$
• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Дано: $BC = 2$ см, $\cos B = \frac{2}{3}$.
Необходимо найти AC и AB.

1. Из определения косинуса для угла B имеем: $\cos B = \frac{BC}{AB}$.
Подставляем известные значения: $\frac{2}{3} = \frac{2}{AB}$.
Отсюда находим гипотенузу AB: $2 \cdot AB = 2 \cdot 3$, следовательно, $AB = 3$ см.

2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, найдём катет AC:
$AC^2 + 2^2 = 3^2$
$AC^2 + 4 = 9$
$AC^2 = 5$
$AC = \sqrt{5}$ см.

Ответ: $AB = 3$ см, $AC = \sqrt{5}$ см.

Дано: $AC = 3$ см, $\sin B = \frac{1}{4}$.
Необходимо найти BC и AB.

1. Из определения синуса для угла B: $\sin B = \frac{AC}{AB}$.
Подставляем известные значения: $\frac{1}{4} = \frac{3}{AB}$.
Отсюда находим гипотенузу AB: $AB = 3 \cdot 4 = 12$ см.

2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, найдём катет BC:
$3^2 + BC^2 = 12^2$
$9 + BC^2 = 144$
$BC^2 = 144 - 9 = 135$
$BC = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ см.

Ответ: $AB = 12$ см, $BC = 3\sqrt{15}$ см.

Дано: $AC = 4$ см, $\cot B = 2$.
Необходимо найти BC и AB.

1. Из определения котангенса для угла B: $\cot B = \frac{BC}{AC}$.
Подставляем известные значения: $2 = \frac{BC}{4}$.
Отсюда находим катет BC: $BC = 2 \cdot 4 = 8$ см.

2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, найдём гипотенузу AB:
$4^2 + 8^2 = AB^2$
$16 + 64 = AB^2$
$AB^2 = 80$
$AB = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $BC = 8$ см, $AB = 4\sqrt{5}$ см.

Дано: $AB = 8$ см, $\cos A = \frac{5}{8}$.
Необходимо найти AC и BC.

1. Из определения косинуса для угла A: $\cos A = \frac{AC}{AB}$.
Подставляем известные значения: $\frac{5}{8} = \frac{AC}{8}$.
Отсюда находим катет AC: $AC = 5$ см.

2. По теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, найдём катет BC:
$5^2 + BC^2 = 8^2$
$25 + BC^2 = 64$
$BC^2 = 64 - 25 = 39$
$BC = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $AC = 5$ см, $BC = \sqrt{39}$ см.

Дано: $AC = 2$ см, $\sin A = \frac{3}{5}$.
Необходимо найти BC и AB.

1. Сначала найдём $\cos A$ через основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как A - острый угол, $\cos A > 0$, поэтому $\cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

2. Теперь, используя определение косинуса $\cos A = \frac{AC}{AB}$, найдём гипотенузу AB:
$\frac{4}{5} = \frac{2}{AB}$
$4 \cdot AB = 10$, откуда $AB = \frac{10}{4} = 2.5$ см.

3. Наконец, из определения синуса $\sin A = \frac{BC}{AB}$, найдём катет BC:
$\frac{3}{5} = \frac{BC}{2.5}$
$5 \cdot BC = 3 \cdot 2.5 = 7.5$, откуда $BC = \frac{7.5}{5} = 1.5$ см.

Ответ: $AB = 2.5$ см, $BC = 1.5$ см.

Дано: $AB = 6$ см, $\tan A = \frac{12}{13}$.
Необходимо найти AC и BC.

1. Из определения тангенса $\tan A = \frac{BC}{AC}$, имеем соотношение катетов $\frac{BC}{AC} = \frac{12}{13}$.
Введём коэффициент пропорциональности $x$, тогда $BC = 12x$ и $AC = 13x$.

2. Подставим эти выражения в теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:
$(13x)^2 + (12x)^2 = 6^2$
$169x^2 + 144x^2 = 36$
$313x^2 = 36$
$x^2 = \frac{36}{313}$
$x = \sqrt{\frac{36}{313}} = \frac{6}{\sqrt{313}}$.

3. Найдём длины катетов, подставив значение $x$:
$AC = 13x = 13 \cdot \frac{6}{\sqrt{313}} = \frac{78}{\sqrt{313}} = \frac{78\sqrt{313}}{313}$ см.
$BC = 12x = 12 \cdot \frac{6}{\sqrt{313}} = \frac{72}{\sqrt{313}} = \frac{72\sqrt{313}}{313}$ см.

Ответ: $AC = \frac{78\sqrt{313}}{313}$ см, $BC = \frac{72\sqrt{313}}{313}$ см.