Номер 207, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Используя данные рисунка 33, найдите отрезки AD и CD.

Рис. 33

На рисунке изображены треугольники $ABC$ и $ADC$. В треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым. Угол $B$ равен $\alpha$. Сторона $BC$ обозначена как $a$. В треугольнике $ADC$ угол $D$ является прямым. Угол $CAD$ равен $\beta$.

На рисунке изображены треугольники $ABC$ и $BDC$. В треугольнике $ABC$ угол $B$ является прямым. Сторона $AB$ обозначена как $a$. Угол $BAC$ равен $\beta$. В треугольнике $BDC$ угол $D$ является прямым. Угол $BCD$ равен $\alpha$.

207. Используя данные рисунка 33, найдите отрезки AD и CD.

Рис. 33

a

Вершины: B, C, A, D

Длина стороны: $a$

Угловые обозначения: $\alpha$, $\beta$

Прямые углы: $\angle C = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ$

б

Вершины: B, A, C, D

Длина стороны: $a$

Угловые обозначения: $\alpha$, $\beta$

Прямые углы: $\angle B = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ$

а

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABC$ с прямым углом $C$ ($∠BCA = 90^\circ$). В этом треугольнике известны катет $BC = a$ и противолежащий ему угол $∠BAC = \alpha$. Нам нужно найти длину другого катета $AC$, который является общей стороной для треугольников $ΔABC$ и $ΔADC$.

Используем определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$ \tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} $

Отсюда выразим катет $AC$:

$ AC = \frac{BC}{\tan(\alpha)} = \frac{a}{\tan(\alpha)} = a \cot(\alpha) $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔADC$ с прямым углом $D$ ($∠ADC = 90^\circ$). Сторона $AC$ является гипотенузой этого треугольника. Нам известен угол $∠CAD = \beta$.

Для нахождения катета $AD$, который является прилежащим к углу $β$, используем определение косинуса:

$ \cos(\beta) = \frac{AD}{AC} $

Выразим $AD$ и подставим найденное значение $AC$:

$ AD = AC \cdot \cos(\beta) = a \cot(\alpha) \cos(\beta) $

Для нахождения катета $CD$, который является противолежащим углу $β$, используем определение синуса:

$ \sin(\beta) = \frac{CD}{AC} $

Выразим $CD$ и подставим найденное значение $AC$:

$ CD = AC \cdot \sin(\beta) = a \cot(\alpha) \sin(\beta) $

Ответ: $ AD = a \cot(\alpha) \cos(\beta) $, $ CD = a \cot(\alpha) \sin(\beta) $.

б

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABC$ с прямым углом $B$ ($∠ABC = 90^\circ$). В этом треугольнике известны катет $AB = a$ и противолежащий ему угол $∠ACB = \alpha$. Сторона $AC$ является гипотенузой и общей стороной для треугольников $ΔABC$ и $ΔADC$.

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$ \sin(\alpha) = \frac{AB}{AC} $

Отсюда выразим гипотенузу $AC$:

$ AC = \frac{AB}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(\alpha)} $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔADC$ с прямым углом $D$ ($∠ADC = 90^\circ$). Сторона $AC$ является гипотенузой этого треугольника. Нам известен угол $∠CAD = \beta$.

Для нахождения катета $AD$, который является прилежащим к углу $β$, используем определение косинуса:

$ \cos(\beta) = \frac{AD}{AC} $

Выразим $AD$ и подставим найденное значение $AC$:

$ AD = AC \cdot \cos(\beta) = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \cos(\beta) = \frac{a \cos(\beta)}{\sin(\alpha)} $

Для нахождения катета $CD$, который является противолежащим углу $β$, используем определение синуса:

$ \sin(\beta) = \frac{CD}{AC} $

Выразим $CD$ и подставим найденное значение $AC$:

$ CD = AC \cdot \sin(\beta) = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\beta) = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} $

Ответ: $ AD = \frac{a \cos(\beta)}{\sin(\alpha)} $, $ CD = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} $.