Номер 206, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Меньшая диагональ ромба равна $m$, а острый угол ромба равен $\alpha$. Найдите сторону ромба и его большую диагональ.

206. Меньшая диагональ ромба равна $m$, а острый угол ромба равен $\alpha$. Найдите сторону ромба и его большую диагональ.

Пусть дан ромб со стороной $a$, острым углом $\alpha$, меньшей диагональю $d_1 = m$ и большей диагональю $d_2$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных диагоналями. Гипотенузой этого треугольника будет сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей: $\frac{d_1}{2} = \frac{m}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Углы в этом треугольнике (кроме прямого) будут равны $\frac{\alpha}{2}$ и $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Меньшая диагональ лежит против острого угла ромба, следовательно, катет $\frac{m}{2}$ лежит против угла $\frac{\alpha}{2}$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\frac{\alpha}{2}$:
$sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{m/2}{a}$
Отсюда выразим сторону ромба $a$:
$a = \frac{m/2}{sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{2sin(\frac{\alpha}{2})}$
Ответ: Сторона ромба равна $\frac{m}{2sin(\frac{\alpha}{2})}$.

В том же прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\frac{\alpha}{2}$:
$tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{m/2}{d_2/2} = \frac{m}{d_2}$
Отсюда выразим большую диагональ $d_2$:
$d_2 = \frac{m}{tan(\frac{\alpha}{2})} = m \cdot ctg(\frac{\alpha}{2})$
Ответ: Большая диагональ ромба равна $m \cdot ctg(\frac{\alpha}{2})$.