Номер 192, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Постройте отрезок $x$, если $x = \sqrt{4a^2 - b^2}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков ($a > b$).

192. Постройте отрезок x, если $x = \sqrt{4a^2 - b^2}$, где a и b — длины данных отрезков ($a > b$).

Анализ

Задача состоит в построении отрезка $x$, длина которого определяется формулой $x = \sqrt{4a^2 - b^2}$, где $a$ и $b$ — длины данных отрезков. Преобразуем эту формулу. Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = 4a^2 - b^2$

Перенесем $b^2$ в левую часть:

$x^2 + b^2 = 4a^2$

Так как $4a^2 = (2a)^2$, уравнение принимает вид:

$x^2 + b^2 = (2a)^2$

Это уравнение является математической записью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого катеты имеют длины $x$ и $b$, а гипотенуза имеет длину $2a$. Таким образом, чтобы построить отрезок $x$, нам необходимо построить прямоугольный треугольник по известному катету (длиной $b$) и известной гипотенузе (длиной $2a$). Второй катет этого треугольника и будет искомым отрезком $x$.

Построение

1. Построим отрезок длиной $2a$. Для этого на произвольной прямой отложим от любой её точки $O$ отрезок $OP$, равный $a$. Затем от точки $P$ отложим в том же направлении отрезок $PQ$, равный $a$. Отрезок $OQ$ будет иметь длину $2a$.
2. Построим прямой угол. Для этого проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $C$. С помощью циркуля и линейки построим прямую $m$, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим от точки $C$ отрезок $CA$, длина которого равна длине данного отрезка $b$.
4. Возьмем циркуль и установим его раствор равным длине построенного отрезка $2a$.
5. Поместив острие циркуля в точку $A$, проведем дугу так, чтобы она пересекла прямую $l$. Назовем точку пересечения $B$. (Такая точка пересечения существует, так как по условию $a > b$, что означает $2a > 2b$. Поскольку $b > 0$, то $2b > b$, и, следовательно, $2a > b$. Длина гипотенузы $2a$ больше длины катета $b$, поэтому построение возможно).
6. Соединим точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$.

Отрезок $CB$ является искомым отрезком $x$.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ угол $\angle C$ является прямым по построению. Длина катета $AC$ равна $b$, а длина гипотенузы $AB$ равна $2a$ (также по построению). Согласно теореме Пифагора:

$|AC|^2 + |CB|^2 = |AB|^2$

Подставляя известные длины, получаем:

$b^2 + |CB|^2 = (2a)^2$

Выразим длину катета $CB$:

$|CB|^2 = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

$|CB| = \sqrt{4a^2 - b^2}$

Следовательно, длина отрезка $CB$ равна $x$. Построение выполнено верно.

Ответ: Отрезок $CB$, построенный указанным способом, является искомым отрезком $x$.