Номер 185, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ проведена высота $AD$. Известно, что $BD = 4$ см, $DC = 16$ см. Найдите основание $AC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

185. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) проведена высота $AD$. Известно, что $BD = 4$ см, $DC = 16$ см. Найдите основание $AC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Поскольку высота AD проведена к боковой стороне BC, а не к основанию, то возможны два случая расположения точки D на прямой BC. Это зависит от того, является ли угол B при вершине равнобедренного треугольника острым или тупым. Следовательно, задача имеет два решения.

Случай 1: Угол B острый

Если угол B острый, то основание высоты D лежит на стороне BC, между точками B и C. В этом случае длина боковой стороны BC равна сумме длин отрезков BD и DC.

$BC = BD + DC = 4 + 16 = 20$ см.

Так как по условию треугольник ABC равнобедренный с $AB = BC$, то $AB = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($\angle ADB = 90^\circ$, так как AD — высота). По теореме Пифагора найдем квадрат высоты AD:

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

$AD^2 = 20^2 - 4^2 = 400 - 16 = 384$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC ($\angle ADC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем искомое основание AC:

$AC^2 = AD^2 + DC^2$

$AC^2 = 384 + 16^2 = 384 + 256 = 640$.

$AC = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$ см.

Ответ: $AC = 8\sqrt{10}$ см.

Случай 2: Угол B тупой

Если угол B тупой, то основание высоты D лежит на продолжении стороны BC за точку B. В этом случае длина боковой стороны BC равна разности длин отрезков DC и BD.

$BC = DC - BD = 16 - 4 = 12$ см.

Так как треугольник ABC равнобедренный ($AB = BC$), то $AB = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($\angle ADB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем квадрат высоты AD:

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

$AD^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC ($\angle ADC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем искомое основание AC:

$AC^2 = AD^2 + DC^2$

$AC^2 = 128 + 16^2 = 128 + 256 = 384$.

$AC = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$ см.

Ответ: $AC = 8\sqrt{6}$ см.

Таким образом, задача имеет два решения. Основание AC может быть равно $8\sqrt{10}$ см или $8\sqrt{6}$ см.