Номер 178, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 31 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 31

a

Изображен треугольник $ABC$. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$.
Отрезок $CD$ перпендикулярен отрезку $AB$.
Длины отрезков: $AC = 12$, $AD = 5$, $DB = 16$.
Длина отрезка $CB$ обозначена как $x$.

Изображен треугольник $ABD$. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$.
Отрезок $AC$ перпендикулярен отрезку $CB$.
Длины отрезков: $AC = 2$, $CB = 3$, $BD = 6$.
Длина отрезка $AD$ обозначена как $x$.

178. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 31 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 31

a

б

а

Рассмотрим треугольник ABC, в котором CD — высота, опущенная на сторону AB. Высота CD делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: ΔADC и ΔBDC.

1. В прямоугольном треугольнике ADC (∠CDA = 90°) по теореме Пифагора найдем квадрат катета CD:
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$12^2 = 5^2 + CD^2$
$144 = 25 + CD^2$
$CD^2 = 144 - 25 = 119$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC (∠CDB = 90°). Катет CD является общим для обоих треугольников. По теореме Пифагора найдем гипотенузу BC, которая обозначена как x:
$BC^2 = CD^2 + DB^2$
$x^2 = 119 + 16^2$
$x^2 = 119 + 256$
$x^2 = 375$

Извлекая квадратный корень и упрощая, получаем:
$x = \sqrt{375} = \sqrt{25 \cdot 15} = 5\sqrt{15}$

Ответ: $5\sqrt{15}$ см.

б

Фигура на рисунке состоит из двух треугольников, ΔACB и ΔABD, имеющих общую сторону AB.

1. Треугольник ACB является прямоугольным, так как ∠C = 90°. По теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы AB:
$AB^2 = AC^2 + CB^2$
$AB^2 = 2^2 + 3^2$
$AB^2 = 4 + 9 = 13$

2. Для нахождения x = AD необходимо рассмотреть треугольник ABD. В условии задачи недостаточно данных для однозначного решения, так как положение точки D не определено полностью. В подобных задачах часто подразумевается дополнительное условие, которое не указано явно. Наиболее вероятным предположением является то, что треугольник ABD также является прямоугольным с прямым углом при вершине B (∠ABD = 90°). Примем это допущение.

3. Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABD, где AB и BD — катеты, а AD = x — гипотенуза, получаем:
$AD^2 = AB^2 + BD^2$
$x^2 = 13 + 6^2$
$x^2 = 13 + 36$
$x^2 = 49$
$x = \sqrt{49} = 7$

Ответ: 7 см.