Номер 182, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к высоте, проведённой к основанию, как 5 : 3. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 36 см.

182. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к высоте, проведённой к основанию, как $5:3$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 36 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна $a$, основание — $b$, а высота, проведённая к основанию, — $h$.

По условию задачи, отношение боковой стороны к высоте, проведенной к основанию, равно $5:3$. Это можно записать как:
$\frac{a}{h} = \frac{5}{3}$

Введём коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $a = 5x$ и $h = 3x$.

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой. Она делит основание на два равных отрезка, каждый длиной $\frac{b}{2}$. Эта высота также делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза — это боковая сторона $a$, один катет — это высота $h$, а второй катет — это половина основания $\frac{b}{2}$.

По теореме Пифагора: $a^2 = h^2 + (\frac{b}{2})^2$.
Подставим выражения для $a$ и $h$ через $x$:
$(5x)^2 = (3x)^2 + (\frac{b}{2})^2$
$25x^2 = 9x^2 + (\frac{b}{2})^2$
$(\frac{b}{2})^2 = 25x^2 - 9x^2 = 16x^2$
$\frac{b}{2} = \sqrt{16x^2} = 4x$ (длина отрезка не может быть отрицательной).

Отсюда найдём всё основание $b$:
$b = 2 \cdot 4x = 8x$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + a + b$. По условию, периметр равен 36 см.
$P = 5x + 5x + 8x = 36$
$18x = 36$
$x = \frac{36}{18} = 2$

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника:
Боковая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.
Основание: $b = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 16 см.

Ответ: боковые стороны треугольника равны по 10 см, основание — 16 см.