Номер 188, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

188. В равнобокую трапецию вписана окружность, радиус которой равен 12 см. Найдите основания трапеции, если её боковая сторона равна 25 см.

Рис. 32

188. В равнобокую трапецию вписана окружность, радиус которой равен 12 см. Найдите основания трапеции, если её боковая сторона равна 25 см.

Рис. 32

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$ и боковой стороной $c=25$ см.

Поскольку в трапецию вписана окружность, суммы длин её противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:$a + b = c + c = 2c$

Подставив известное значение боковой стороны, получим сумму оснований:$a + b = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна её диаметру. Радиус вписанной окружности по условию равен $r = 12$ см. Тогда высота трапеции $h$ равна:$h = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной трапеции (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и отрезком на большем основании. В равнобокой трапеции длина этого отрезка равна полуразности оснований, то есть $\frac{a - b}{2}$. По теореме Пифагора:$c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$

Подставим известные значения $c$ и $h$:$25^2 = 24^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$$625 = 576 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2$$\left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = 625 - 576 = 49$

Извлекая квадратный корень, находим:$\frac{a - b}{2} = \sqrt{49} = 7$ см.

Отсюда находим разность оснований:$a - b = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:$\\ \begin{cases} a + b = 50 \\ a - b = 14 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:$(a + b) + (a - b) = 50 + 14$$2a = 64$$a = 32$ см.

Теперь подставим найденное значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:$32 + b = 50$$b = 50 - 32 = 18$ см.

Следовательно, основания трапеции равны 18 см и 32 см.

Ответ: 18 см и 32 см.