Номер 184, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 10$ см, $BC = 15$ см, а высота $BD$ равна 8 см. Найдите сторону $AC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 10$ см, $BC = 15$ см, а высота $BD$ равна $8$ см. Найдите сторону $AC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Найдите сторону AC треугольника

Пусть дан треугольник ABC. Известны стороны $AB = 10$ см, $BC = 15$ см и высота $BD = 8$ см, проведенная к стороне AC. Высота BD перпендикулярна прямой AC, поэтому она образует два прямоугольных треугольника: ΔABD и ΔBCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (с прямым углом D). По теореме Пифагора найдем катет AD:
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
$AD^2 + 8^2 = 10^2$
$AD^2 + 64 = 100$
$AD^2 = 36$
$AD = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD (с прямым углом D). По теореме Пифагора найдем катет DC:
$DC^2 + BD^2 = BC^2$
$DC^2 + 8^2 = 15^2$
$DC^2 + 64 = 225$
$DC^2 = 161$
$DC = \sqrt{161}$ см.

Положение точки D на прямой AC определяет длину стороны AC. Возможны два случая.

Случай 1: Точка D лежит на отрезке AC. Это соответствует случаю, когда углы A и C в треугольнике ABC острые. В этом случае длина стороны AC равна сумме длин отрезков AD и DC:
$AC = AD + DC = 6 + \sqrt{161}$ см.

Случай 2: Точка D лежит на прямой AC, но вне отрезка AC. Это соответствует случаю, когда один из углов при основании (A или C) тупой.

- Если угол C тупой, то точка C лежит между A и D. Тогда $AC = AD - CD = 6 - \sqrt{161}$. Так как $\sqrt{161} > \sqrt{36} = 6$, длина AC была бы отрицательной, что невозможно.

- Если угол A тупой, то точка A лежит между C и D. Тогда длина стороны AC равна разности длин отрезков DC и AD:
$AC = DC - AD = \sqrt{161} - 6$ см.
Так как $\sqrt{161} > 6$, это значение положительно и является возможным решением.

Таким образом, сторона AC может иметь два возможных значения.
Ответ: Сторона AC может быть равна $(6 + \sqrt{161})$ см или $(\sqrt{161} - 6)$ см.

Сколько решений имеет задача?

Как показано выше, существуют два возможных значения для длины стороны AC. Для каждого из них необходимо проверить выполнимость неравенства треугольника, чтобы убедиться в существовании таких треугольников.
1. Для $AC = 6 + \sqrt{161}$ см:
$10 + 15 > 6 + \sqrt{161} \implies 25 > 6 + \sqrt{161} \implies 19 > \sqrt{161}$ (верно, так как $19^2 = 361 > 161$). Остальные неравенства также верны.
2. Для $AC = \sqrt{161} - 6$ см:
$10 + (\sqrt{161} - 6) > 15 \implies 4 + \sqrt{161} > 15 \implies \sqrt{161} > 11$ (верно, так как $161 > 11^2 = 121$). Остальные неравенства также верны.

Поскольку оба варианта приводят к существующим треугольникам, задача имеет два решения.
Ответ: Задача имеет два решения.