Номер 187, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если разность наклонных равна 2 см.

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если разность наклонных равна 2 см.

Пусть из некоторой точки $A$ к прямой $l$ проведен перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB$ и $AC$. Длина перпендикуляра $AH$ является искомым расстоянием, обозначим ее как $h$. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на прямую $l$.

Согласно условию задачи, длины проекций равны 5 см и 9 см. Пусть $HB = 5$ см и $HC = 9$ см.

По свойству наклонных, большей проекции соответствует большая наклонная. Так как $HC > HB$ ($9 > 5$), то и наклонная $AC$ длиннее наклонной $AB$. По условию, разность их длин равна 2 см, следовательно, $AC - AB = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$, в которых $AH$ — общий катет.

Применим теорему Пифагора для каждого треугольника:

Из $\triangle AHB$: $AB^2 = AH^2 + HB^2$, что дает нам уравнение: $AB^2 = h^2 + 5^2 \Rightarrow AB^2 = h^2 + 25$ (1)

Из $\triangle AHC$: $AC^2 = AH^2 + HC^2$, что дает нам уравнение: $AC^2 = h^2 + 9^2 \Rightarrow AC^2 = h^2 + 81$ (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): $AC^2 - AB^2 = (h^2 + 81) - (h^2 + 25)$ $AC^2 - AB^2 = 56$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(AC - AB)(AC + AB) = 56$

Мы знаем, что $AC - AB = 2$. Подставим это значение в полученное уравнение: $2 \cdot (AC + AB) = 56$ $AC + AB = \frac{56}{2}$ $AC + AB = 28$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $AC$ и $AB$: $ \begin{cases} AC - AB = 2 \\ AC + AB = 28 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим: $2AC = 30$ $AC = 15$ см.

Тогда $AB = AC - 2 = 15 - 2 = 13$ см.

Для нахождения расстояния $h$ подставим найденное значение длины одной из наклонных (например, $AB = 13$) в соответствующее уравнение (1): $13^2 = h^2 + 25$ $169 = h^2 + 25$ $h^2 = 169 - 25$ $h^2 = 144$ $h = \sqrt{144}$ $h = 12$ см.

Ответ: 12 см.