Страница 25 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см.

171. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см.

171.

Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой Пифагора. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла) равен сумме квадратов длин катетов (двух других сторон).

Формула теоремы Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ – это гипотенуза, а $a$ и $b$ – это катеты.

Согласно условию задачи, нам даны длины катетов:
$a = 6$ см
$b = 8$ см

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти квадрат гипотенузы:
$c^2 = 6^2 + 8^2$

Теперь выполним вычисления:
$c^2 = 36 + 64$
$c^2 = 100$

Чтобы найти длину гипотенузы $c$, необходимо извлечь квадратный корень из полученного значения:
$c = \sqrt{100}$
$c = 10$ см

Ответ: 10 см.

172. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны 8 см и 4 см.

172. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны 8 см и 4 см.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Согласно этой теореме, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Формула теоремы Пифагора выглядит так: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — это катеты, а $c$ — гипотенуза.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Гипотенуза $c = 8$ см.
Один из катетов (назовем его $a$) $a = 4$ см.

Нам нужно найти длину второго катета, который мы обозначим как $b$. Для этого выразим $b^2$ из формулы теоремы Пифагора:
$b^2 = c^2 - a^2$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и выполним вычисления:
$b^2 = 8^2 - 4^2$
$b^2 = 64 - 16$
$b^2 = 48$

Чтобы найти длину катета $b$, необходимо извлечь квадратный корень из 48:
$b = \sqrt{48}$

Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители, один из которых является полным квадратом:
$b = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Таким образом, длина искомого катета равна $4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

173. Сторона квадрата равна $3\sqrt{2}$ см. Найдите его диагональ.

173. Сторона квадрата равна $3\sqrt{2}$ см. Найдите его диагональ.

Для решения этой задачи можно использовать теорему Пифагора или готовую формулу для нахождения диагонали квадрата.

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ.

Способ 1: Использование теоремы Пифагора

Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника. Стороны квадрата являются катетами этих треугольников, а диагональ — гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $d^2 = a^2 + a^2$.

$d^2 = 2a^2$

Подставим в эту формулу данное значение стороны квадрата $a = 3\sqrt{2}$ см:

$d^2 = 2 \cdot (3\sqrt{2})^2 = 2 \cdot (3^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = 2 \cdot (9 \cdot 2) = 2 \cdot 18 = 36$

Теперь найдем длину диагонали, извлекая квадратный корень:

$d = \sqrt{36} = 6$ см.

Способ 2: Использование формулы диагонали квадрата

Существует формула, связывающая диагональ квадрата с его стороной: $d = a\sqrt{2}$.

Подставим в нее известное значение стороны $a = 3\sqrt{2}$ см:

$d = (3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6 см.

174. Диагональ прямоугольника равна 34 см. Найдите стороны прямоугольника, если их длины относятся как 15 : 8.

174. Диагональ прямоугольника равна 34 см. Найдите стороны прямоугольника, если их длины относятся как $15 : 8$.

Пусть стороны прямоугольника равны 𝑎 и 𝑏. Согласно условию, их длины относятся как 15 : 8. Это можно записать в виде пропорции: $\frac{a}{b} = \frac{15}{8}$. Введем коэффициент пропорциональности 𝑥, тогда длины сторон можно выразить как $a = 15x$ и $b = 8x$.

Диагональ прямоугольника вместе с двумя его смежными сторонами образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ – гипотенузой. По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $a^2 + b^2 = d^2$.

Подставим в это уравнение выражения для сторон через 𝑥 и известную длину диагонали $d = 34$ см:
$(15x)^2 + (8x)^2 = 34^2$

Выполним вычисления и решим полученное уравнение:
$225x^2 + 64x^2 = 1156$
$289x^2 = 1156$
$x^2 = \frac{1156}{289}$
$x^2 = 4$
Поскольку 𝑥 представляет собой коэффициент для длин сторон, он должен быть положительным.
$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем длины сторон прямоугольника, умножив коэффициент 𝑥 на соответствующие части пропорции:
Первая сторона: $a = 15x = 15 \cdot 2 = 30$ см.
Вторая сторона: $b = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 30 см и 16 см.

175. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7 см, а основание — 6 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к основанию.

175. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7 см, а основание — 6 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a = 7$ см и основанием $c = 6$ см. Обозначим высоту, проведенную к основанию, как $h$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, основание делится на два отрезка длиной $\frac{c}{2}$ каждый.

$\frac{c}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник, где боковая сторона является гипотенузой, а высота и половина основания — катетами. По теореме Пифагора ($a^2 = b^2 + c^2$), мы можем записать:

$a^2 = h^2 + (\frac{c}{2})^2$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти высоту $h$:

$7^2 = h^2 + 3^2$

$49 = h^2 + 9$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 49 - 9$

$h^2 = 40$

Теперь найдем $h$, взяв квадратный корень из 40:

$h = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.

176. Сторона ромба равна 13 см, а одна из его диагоналей – 10 см. Найдите вторую диагональ ромба.

176. Сторона ромба равна 13 см, а одна из его диагоналей – 10 см. Найдите вторую диагональ ромба.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его диагонали $d_1$ и $d_2$. По условию задачи нам дано:
$a = 13$ см
$d_1 = 10$ см

Диагонали ромба обладают двумя важными свойствами: они пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

В каждом из этих треугольников гипотенузой является сторона ромба $a$, а катетами — половины его диагоналей, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Найдем длину половины известной диагонали $d_1$:
$\frac{d_1}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти половину второй диагонали $(\frac{d_2}{2})$:
$13^2 = 5^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$169 = 25 + (\frac{d_2}{2})^2$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 169 - 25$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 144$
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{144}$
$\frac{d_2}{2} = 12$ см.

Мы нашли половину второй диагонали. Чтобы найти ее полную длину, нужно умножить полученное значение на 2:
$d_2 = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

177. Две стороны прямоугольного треугольника равны 5 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи необходимо применить теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Поскольку в условии не указано, являются ли данные стороны катетами или одна из них — гипотенуза, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Найдите третью сторону треугольника.

Случай 1: данные стороны 5 см и 8 см являются катетами.

Пусть катеты $a = 5$ см и $b = 8$ см. Тогда третья сторона — это гипотенуза $c$.

По теореме Пифагора:

$c^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89$

Следовательно, $c = \sqrt{89}$ см.

Случай 2: одна из данных сторон является гипотенузой.

Гипотенуза всегда является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Поэтому из двух данных сторон (5 см и 8 см) гипотенузой может быть только большая, то есть $c = 8$ см. Тогда сторона длиной 5 см является катетом, $a = 5$ см. Искомая третья сторона — это второй катет $b$.

Из теоремы Пифагора выразим квадрат второго катета:

$b^2 = c^2 - a^2 = 8^2 - 5^2 = 64 - 25 = 39$

Следовательно, $b = \sqrt{39}$ см.

Таким образом, мы получили два возможных значения для третьей стороны треугольника.

Ответ: третья сторона треугольника равна $\sqrt{89}$ см или $\sqrt{39}$ см.

Сколько решений имеет задача?

Так как мы нашли два различных возможных значения для длины третьей стороны, каждое из которых соответствует существующему прямоугольному треугольнику, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

178. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 31 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 31

a

Изображен треугольник $ABC$. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$.
Отрезок $CD$ перпендикулярен отрезку $AB$.
Длины отрезков: $AC = 12$, $AD = 5$, $DB = 16$.
Длина отрезка $CB$ обозначена как $x$.

Изображен треугольник $ABD$. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$.
Отрезок $AC$ перпендикулярен отрезку $CB$.
Длины отрезков: $AC = 2$, $CB = 3$, $BD = 6$.
Длина отрезка $AD$ обозначена как $x$.

178. Найдите длину неизвестного отрезка $x$ на рисунке 31 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 31

a

б

а

Рассмотрим треугольник ABC, в котором CD — высота, опущенная на сторону AB. Высота CD делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: ΔADC и ΔBDC.

1. В прямоугольном треугольнике ADC (∠CDA = 90°) по теореме Пифагора найдем квадрат катета CD:
$AC^2 = AD^2 + CD^2$
$12^2 = 5^2 + CD^2$
$144 = 25 + CD^2$
$CD^2 = 144 - 25 = 119$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC (∠CDB = 90°). Катет CD является общим для обоих треугольников. По теореме Пифагора найдем гипотенузу BC, которая обозначена как x:
$BC^2 = CD^2 + DB^2$
$x^2 = 119 + 16^2$
$x^2 = 119 + 256$
$x^2 = 375$

Извлекая квадратный корень и упрощая, получаем:
$x = \sqrt{375} = \sqrt{25 \cdot 15} = 5\sqrt{15}$

Ответ: $5\sqrt{15}$ см.

б

Фигура на рисунке состоит из двух треугольников, ΔACB и ΔABD, имеющих общую сторону AB.

1. Треугольник ACB является прямоугольным, так как ∠C = 90°. По теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы AB:
$AB^2 = AC^2 + CB^2$
$AB^2 = 2^2 + 3^2$
$AB^2 = 4 + 9 = 13$

2. Для нахождения x = AD необходимо рассмотреть треугольник ABD. В условии задачи недостаточно данных для однозначного решения, так как положение точки D не определено полностью. В подобных задачах часто подразумевается дополнительное условие, которое не указано явно. Наиболее вероятным предположением является то, что треугольник ABD также является прямоугольным с прямым углом при вершине B (∠ABD = 90°). Примем это допущение.

3. Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABD, где AB и BD — катеты, а AD = x — гипотенуза, получаем:
$AD^2 = AB^2 + BD^2$
$x^2 = 13 + 6^2$
$x^2 = 13 + 36$
$x^2 = 49$
$x = \sqrt{49} = 7$

Ответ: 7 см.

179. Диагональ равнобокой трапеции равна 17 см, а высота — 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

179. Диагональ равнобокой трапеции равна 17 см, а высота – 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию, диагональ AC = 17 см, а высота трапеции h = 8 см. Требуется найти среднюю линию трапеции m.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:
$m = \frac{AD + BC}{2}$

Проведем из вершины C высоту CK на большее основание AD. Образуется прямоугольный треугольник ACK, в котором:

• AC — гипотенуза (диагональ трапеции), $AC = 17$ см.
• CK — катет (высота трапеции), $CK = h = 8$ см.
• AK — катет, являющийся проекцией диагонали AC на основание AD.

По теореме Пифагора найдем длину катета AK:
$AK^2 = AC^2 - CK^2$
$AK^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
$AK = \sqrt{225} = 15$ см.

В равнобокой трапеции проекция диагонали на большее основание (отрезок AK) равна полусумме оснований. Докажем это. Опустим также высоту BH из вершины B. Прямоугольные треугольники ABH и DCK равны (по гипотенузе и катету), следовательно, $AH = KD$. Длину отрезка KD можно выразить через основания: $KD = \frac{AD - BC}{2}$.
Тогда $AK = AD - KD = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2AD - (AD - BC)}{2} = \frac{AD + BC}{2}$.

Таким образом, длина отрезка AK равна длине средней линии трапеции m.
$m = AK = 15$ см.

Ответ: 15 см.

180. В равнобокой трапеции $ABCD$ высота $BE$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 5 см и 16 см. Найдите диагональ трапеции, если её боковая сторона равна 13 см.

180. В равнобокой трапеции $ABCD$ высота $BE$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 5 см и 16 см. Найдите диагональ трапеции, если её боковая сторона равна 13 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB = CD = 13$ см. Высота $BE$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AD$, делит его на отрезки $AE$ и $ED$.

В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка. Меньший из них равен полуразности оснований, а больший — их полусумме. Следовательно, меньший отрезок $AE = 5$ см, а больший $ED = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ (угол $E$ прямой). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AE^2 + BE^2$.

Отсюда мы можем найти высоту трапеции $BE$:

$BE^2 = AB^2 - AE^2$

$BE^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$BE = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BED$ (угол $E$ прямой). Его гипотенуза $BD$ является диагональю трапеции. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BE^2 + ED^2$

Подставим известные значения $BE = 12$ см и $ED = 16$ см:

$BD^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$BD = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как трапеция равнобокая, ее диагонали равны ($AC = BD$).

Ответ: 20 см.