Страница 19 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Стороны треугольника равны 13 см, 18 см и 21 см. Окружность, центр которой принадлежит меньшей стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

129. Стороны треугольника равны 13 см, 18 см и 21 см. Окружность, центр которой принадлежит меньшей стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, стороны которого равны $AC = 21$ см, $BC = 18$ см и $AB = 13$ см. Меньшей стороной является $AB$.

По условию задачи, центр окружности, назовем его точкой $O$, принадлежит меньшей стороне $AB$. Окружность касается двух других сторон, $AC$ и $BC$.

Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу окружности. Поскольку окружность с центром в точке $O$ касается сторон $AC$ и $BC$, точка $O$ равноудалена от этих сторон.

Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $C$ треугольника $ABC$.

Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения биссектрисы угла $C$ со стороной $AB$. Отрезок $CO$ — биссектриса треугольника.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $CO$ это свойство записывается в виде отношения:

$\frac{AO}{OB} = \frac{AC}{BC}$

Подставим в эту формулу известные длины сторон $AC$ и $BC$:

$\frac{AO}{OB} = \frac{21}{18}$

Сократим дробь в правой части уравнения:

$\frac{AO}{OB} = \frac{7}{6}$

Отсюда можно выразить $AO$ через $OB$:

$AO = \frac{7}{6}OB$

Точка $O$ лежит на стороне $AB$, поэтому сумма длин отрезков $AO$ и $OB$ равна длине стороны $AB$:

$AO + OB = AB = 13$ см

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $AO$ из первого уравнения во второе:

$\frac{7}{6}OB + OB = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{7}{6} + 1)OB = 13$

$(\frac{7}{6} + \frac{6}{6})OB = 13$

$\frac{13}{6}OB = 13$

Найдем $OB$:

$OB = 13 \cdot \frac{6}{13}$

$OB = 6$ см

Теперь найдем длину отрезка $AO$:

$AO = 13 - OB = 13 - 6 = 7$ см

Таким образом, центр окружности делит меньшую сторону треугольника на отрезки длиной 7 см и 6 см.

Ответ: 6 см и 7 см.

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 7$ см, $BC = 15$ см, $AC = 11$ см. В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $BD$?

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 7$ см, $BC = 15$ см, $AC = 11$ см. В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $BD$?

Пусть $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. По определению, центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе $BD$.

Чтобы найти отношение, в котором точка $O$ делит отрезок $BD$ (то есть найти $BO:OD$), рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $AO$ также является биссектрисой, так как он соединяет вершину $A$ с инцентром $O$. Применим к треугольнику $ABD$ свойство биссектрисы угла: биссектриса $AO$ делит противолежащую сторону $BD$ на отрезки ($BO$ и $OD$), пропорциональные двум другим сторонам треугольника ($AB$ и $AD$).

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{AD} $$

Для вычисления этого отношения необходимо найти длину отрезка $AD$. Длину $AD$ можно найти, применив свойство биссектрисы $BD$ к исходному треугольнику $ABC$. Биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $DC$ пропорционально прилежащим сторонам $AB$ и $BC$:

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

Подставим известные значения: $AB = 7$ см, $BC = 15$ см, $AC = 11$ см.

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{7}{15} $$

При этом мы знаем, что $AD + DC = AC = 11$. Из этого соотношения выразим $DC = 11 - AD$ и подставим в пропорцию:

$$ \frac{AD}{11 - AD} = \frac{7}{15} $$

Решим полученное уравнение методом перекрестного умножения:

$$ 15 \cdot AD = 7(11 - AD) $$

$$ 15 \cdot AD = 77 - 7 \cdot AD $$

$$ 15 \cdot AD + 7 \cdot AD = 77 $$

$$ 22 \cdot AD = 77 $$

$$ AD = \frac{77}{22} = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ см} $$

Теперь вернемся к отношению для отрезков биссектрисы $BD$ и подставим известные значения $AB$ и найденное значение $AD$:

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{AD} = \frac{7}{3.5} = 2 $$

Следовательно, искомое отношение $BO:OD$ равно $2:1$.

Ответ: $2:1$.

131. На медиане AD треугольника ABC отметили точку F так, что $AF : FD = 7 : 4$. В каком отношении прямая BF делит сторону AC?

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $F$ так, что $AF : FD = 7 : 4$. В каком отношении прямая $BF$ делит сторону $AC$?

Пусть прямая BF пересекает сторону AC в точке K. Нам необходимо найти отношение $\frac{AK}{KC}$.

Способ 1: Метод дополнительного построения

Проведем через точку D прямую DM, параллельную прямой BF, где M — точка пересечения со стороной AC. Таким образом, $DM \parallel BK$.

Рассмотрим треугольник CBK. Так как AD — медиана, то D — середина стороны BC. По построению $DM \parallel BK$. Согласно теореме Фалеса, если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. Следовательно, M — середина отрезка CK. Это означает, что $CM = MK$.

Теперь рассмотрим треугольник ADM. В нем отрезок FK параллелен основанию DM ($FK \parallel DM$). По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса):
$\frac{AK}{KM} = \frac{AF}{FD}$

Из условия задачи известно, что $AF : FD = 7 : 4$. Подставим это значение в пропорцию:
$\frac{AK}{KM} = \frac{7}{4}$

Теперь мы можем связать длины всех отрезков. Пусть $KM = 4x$ для некоторого $x > 0$. Тогда из пропорции следует, что $AK = 7x$.
Поскольку M — середина CK, то $CK = 2 \cdot KM = 2 \cdot 4x = 8x$.

Наконец, найдем искомое отношение:
$\frac{AK}{KC} = \frac{7x}{8x} = \frac{7}{8}$

Таким образом, прямая BF делит сторону AC в отношении 7 : 8, считая от вершины A.
Ответ: 7 : 8.

Способ 2: Применение теоремы Менелая

Рассмотрим треугольник ADC и секущую BFK. Эта прямая пересекает стороны AC и AD треугольника в точках K и F соответственно, а также продолжение стороны CD в точке B.

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей BFK справедливо следующее соотношение:
$\frac{AK}{KC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

Определим значения для каждого сомножителя в этом выражении. Отношение $\frac{AK}{KC}$ является искомым. Поскольку AD — медиана треугольника ABC, точка D — середина стороны BC. Это значит, что $CB = 2 \cdot BD$, и, следовательно, отношение $\frac{CB}{BD} = \frac{2 \cdot BD}{BD} = 2$. Из условия задачи $AF : FD = 7 : 4$, что означает $\frac{AF}{FD} = \frac{7}{4}$ и обратное отношение $\frac{DF}{FA} = \frac{4}{7}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:
$\frac{AK}{KC} \cdot 2 \cdot \frac{4}{7} = 1$

Упростим выражение:
$\frac{AK}{KC} \cdot \frac{8}{7} = 1$

Отсюда находим искомое отношение:
$\frac{AK}{KC} = \frac{7}{8}$

Прямая BF делит сторону AC в отношении 7 : 8.
Ответ: 7 : 8.

132. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $E$ и $D$ соответственно. Отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. В каком отношении точка $F$ делит отрезок $CE$, если $BE : EA = 2 : 1$ и $BD : DC = 6 : 7$?

132. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $E$ и $D$ соответственно. Отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. В каком отношении точка $F$ делит отрезок $CE$, если $BE : EA = 2 : 1$ и $BD : DC = 6 : 7$?

Для решения данной задачи можно использовать теорему Менелая. Эта теорема устанавливает соотношение между отрезками, на которые прямая рассекает стороны треугольника (или их продолжения).

Рассмотрим треугольник $ \triangle BCE $ и прямую $AD$ в качестве секущей (трансверсали). Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $D$, сторону $CE$ в точке $F$ и продолжение стороны $BE$ (которое является лучом $BA$) в точке $A$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $ \triangle BCE $ и секущей $AD$, справедливо следующее соотношение:

$ \frac{BA}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} \cdot \frac{CD}{DB} = 1 $

Для того чтобы использовать эту формулу, необходимо найти значения отношений сторон из условия задачи.

1. Нам дано отношение $BE : EA = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $BE$ в два раза длиннее отрезка $EA$. Если принять длину $EA = x$, то $BE = 2x$. Тогда вся сторона $AB$ равна сумме этих отрезков: $AB = AE + EB = x + 2x = 3x$.
Теперь мы можем найти отношение $ \frac{BA}{AE} $: $ \frac{BA}{AE} = \frac{3x}{x} = 3 $.

2. Нам дано отношение $BD : DC = 6 : 7$. Для формулы Менелая нам понадобится обратное отношение, $ \frac{CD}{DB} $: $ \frac{CD}{DB} = \frac{7}{6} $.

Теперь подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$ 3 \cdot \frac{EF}{FC} \cdot \frac{7}{6} = 1 $

Выполним умножение в левой части уравнения:

$ \frac{21}{6} \cdot \frac{EF}{FC} = 1 $

Сократим дробь $ \frac{21}{6} $ на 3:

$ \frac{7}{2} \cdot \frac{EF}{FC} = 1 $

Из этого уравнения выразим отношение $ \frac{EF}{FC} $, которое показывает, как соотносятся отрезки, на которые точка $F$ делит сегмент $CE$:

$ \frac{EF}{FC} = \frac{2}{7} $

В вопросе требуется найти, в каком отношении точка $F$ делит отрезок $CE$. Обычно это отношение записывается в виде $CF : FE$. Из полученного нами равенства $ \frac{EF}{FC} = \frac{2}{7} $ следует, что $ \frac{CF}{FE} = \frac{7}{2} $.

Таким образом, точка $F$ делит отрезок $CE$ в отношении $7 : 2$, считая от вершины $C$.

Ответ: $7:2$

133. Известно, что $\Delta ABC \sim \Delta A_1 B_1 C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1 B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1 C_1$ (рис. 21). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 21

Первая пара треугольников

Треугольник $ABC$: известна сторона $AB = 12$. Стороны $BC$ и $AC$ неизвестны.

Треугольник $A_1 B_1 C_1$: известны стороны $A_1 B_1 = 6$, $B_1 C_1 = 8$, $A_1 C_1 = 9$.

Вторая пара треугольников

Треугольник $ABC$: известны стороны $BC = 6$, $AC = 12$. Сторона $AB$ неизвестна.

Треугольник $A_1 B_1 C_1$: известны стороны $B_1 C_1 = 6$, $A_1 C_1 = 8$. Сторона $A_1 B_1$ неизвестна.

133. Известно, что $\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 21). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 21

Поскольку треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$), то отношения их соответственных сторон равны. Это отношение называется коэффициентом подобия $k$.

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

В этом случае известны стороны: $AB = 12$ см, $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 8$ см, $A_1C_1 = 9$ см.
Неизвестные стороны: $BC$ и $AC$.
1. Найдем коэффициент подобия $k$, используя известные соответственные стороны $AB$ и $A_1B_1$:
$k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{6} = 2$
2. Теперь найдем неизвестные стороны треугольника $ABC$, используя найденный коэффициент подобия.
Для стороны $BC$:
$\frac{BC}{B_1C_1} = k \implies \frac{BC}{8} = 2 \implies BC = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Для стороны $AC$:
$\frac{AC}{A_1C_1} = k \implies \frac{AC}{9} = 2 \implies AC = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: $BC = 16$ см, $AC = 18$ см.

В этом случае известны стороны: $AB = 6$ см, $AC = 12$ см, $B_1C_1 = 6$ см, $A_1C_1 = 8$ см.
Неизвестные стороны: $BC$ и $A_1B_1$.
1. Найдем коэффициент подобия $k$, используя известные соответственные стороны $AC$ и $A_1C_1$:
$k = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$
2. Теперь найдем неизвестные стороны, используя найденный коэффициент подобия.
Найдем сторону $BC$:
$\frac{BC}{B_1C_1} = k \implies \frac{BC}{6} = 1,5 \implies BC = 1,5 \cdot 6 = 9$ см.
Найдем сторону $A_1B_1$:
$\frac{AB}{A_1B_1} = k \implies \frac{6}{A_1B_1} = 1,5 \implies A_1B_1 = \frac{6}{1,5} = 4$ см.

Ответ: $BC = 9$ см, $A_1B_1 = 4$ см.