Номер 129, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Стороны треугольника равны 13 см, 18 см и 21 см. Окружность, центр которой принадлежит меньшей стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

129. Стороны треугольника равны 13 см, 18 см и 21 см. Окружность, центр которой принадлежит меньшей стороне треугольника, касается двух других сторон. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит сторону треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, стороны которого равны $AC = 21$ см, $BC = 18$ см и $AB = 13$ см. Меньшей стороной является $AB$.

По условию задачи, центр окружности, назовем его точкой $O$, принадлежит меньшей стороне $AB$. Окружность касается двух других сторон, $AC$ и $BC$.

Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу окружности. Поскольку окружность с центром в точке $O$ касается сторон $AC$ и $BC$, точка $O$ равноудалена от этих сторон.

Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $C$ треугольника $ABC$.

Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения биссектрисы угла $C$ со стороной $AB$. Отрезок $CO$ — биссектриса треугольника.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $CO$ это свойство записывается в виде отношения:

$\frac{AO}{OB} = \frac{AC}{BC}$

Подставим в эту формулу известные длины сторон $AC$ и $BC$:

$\frac{AO}{OB} = \frac{21}{18}$

Сократим дробь в правой части уравнения:

$\frac{AO}{OB} = \frac{7}{6}$

Отсюда можно выразить $AO$ через $OB$:

$AO = \frac{7}{6}OB$

Точка $O$ лежит на стороне $AB$, поэтому сумма длин отрезков $AO$ и $OB$ равна длине стороны $AB$:

$AO + OB = AB = 13$ см

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $AO$ из первого уравнения во второе:

$\frac{7}{6}OB + OB = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{7}{6} + 1)OB = 13$

$(\frac{7}{6} + \frac{6}{6})OB = 13$

$\frac{13}{6}OB = 13$

Найдем $OB$:

$OB = 13 \cdot \frac{6}{13}$

$OB = 6$ см

Теперь найдем длину отрезка $AO$:

$AO = 13 - OB = 13 - 6 = 7$ см

Таким образом, центр окружности делит меньшую сторону треугольника на отрезки длиной 7 см и 6 см.

Ответ: 6 см и 7 см.