Номер 124, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Сторону $BC$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AB$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если $AB = 12$ см.

124. Сторону $BC$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AB$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если $AB = 12$ см.

Пусть в треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что они делят сторону на три равных отрезка. Для удобства рассуждений, расположим точки в порядке $B, D, E, C$. Тогда $BD = DE = EC$. Пусть $BD = DE = EC = x$, следовательно, длина всей стороны $BC = 3x$. Через точки $D$ и $E$ проведены прямые, параллельные стороне $AB$. Пусть прямая, проходящая через точку $D$, пересекает сторону $AC$ в точке $F$, а прямая, проходящая через точку $E$, пересекает $AC$ в точке $G$. Таким образом, $DF \parallel AB$ и $EG \parallel AB$. Требуется найти длины отрезков $DF$ и $EG$, если известно, что $AB = 12$ см.

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников.

Сначала найдем длину отрезка $EG$. Рассмотрим треугольники $\triangle CGE$ и $\triangle CAB$. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников. Так как по построению $EG \parallel AB$, то углы $\angle CEG$ и $\angle CBA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $EG$ и $AB$ и секущей $BC$. Следовательно, треугольник $\triangle CGE$ подобен треугольнику $\triangle CAB$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{EG}{AB} = \frac{CE}{CB} $

Из условия $CE = x$ и $CB = 3x$. Подставим известные значения в пропорцию: $ \frac{EG}{12} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} $ Отсюда находим длину $EG$: $ EG = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4 $ см.

Теперь найдем длину отрезка $DF$. Рассмотрим треугольники $\triangle CDF$ и $\triangle CAB$. Угол $\angle C$ у них также общий. Так как $DF \parallel AB$, то углы $\angle CDF$ и $\angle CBA$ равны как соответственные. Следовательно, треугольник $\triangle CDF$ подобен треугольнику $\triangle CAB$ по двум углам.

Из подобия следует соотношение: $ \frac{DF}{AB} = \frac{CD}{CB} $

Длина отрезка $CD$ равна сумме длин отрезков $CE$ и $ED$: $CD = x + x = 2x$. Длина стороны $CB = 3x$. Подставим эти значения: $ \frac{DF}{12} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} $ Отсюда находим длину $DF$: $ DF = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8 $ см.

Ответ: длины отрезков равны 4 см и 8 см.