Номер 121, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых на 5 см больше другого. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 6 см.

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых на 5 см больше другого. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 6 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. $MN$ — средняя линия трапеции, где точка $M$ лежит на боковой стороне $AB$, а точка $N$ — на боковой стороне $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $P$.

По свойству средней линии трапеции, она параллельна основаниям. Таким образом, $MN \parallel BC$ и $MN \parallel AD$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MP$ является его частью. Так как $M$ — середина стороны $AB$ (по определению средней линии трапеции) и $MP \parallel BC$, то $MP$ является средней линией треугольника $ABC$. Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна.

По условию, меньшее основание $BC = 6$ см. Тогда:
$MP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $PN$ является его частью. Так как $N$ — середина стороны $CD$ и $PN \parallel AD$, то $PN$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно:
$PN = \frac{1}{2} AD$

По условию задачи, диагональ делит среднюю линию на отрезки, один из которых на 5 см больше другого. Это отрезки $MP$ и $PN$. Поскольку $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее, то $PN > MP$. Значит, разница их длин равна 5 см:
$PN - MP = 5$

Мы уже нашли, что $MP = 3$ см. Подставим это значение в уравнение:
$PN - 3 = 5$
$PN = 3 + 5 = 8$ см.

Зная длину отрезка $PN$, мы можем найти длину большего основания $AD$:
$PN = \frac{1}{2} AD$
$8 = \frac{1}{2} AD$
$AD = 8 \times 2 = 16$ см.

Ответ: 16 см.