Номер 120, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. В окружности проведены хорды $AB$ и $AC$. Расстояние от середины хорды $AC$ до хорды $AB$ равно 4 см. Найдите длину отрезка $BC$, если $\angle ABC = 30^\circ$.

120. В окружности проведены хорды $AB$ и $AC$. Расстояние от середины хорды $AC$ до хорды $AB$ равно 4 см. Найдите длину отрезка $BC$, если $\angle ABC = 30^\circ$.

Пусть M — середина хорды AC. Опустим из точки M перпендикуляр MH на хорду AB. По условию, расстояние от точки M до хорды AB равно 4 см, следовательно, длина этого перпендикуляра $MH = 4$ см.

Проведём из вершины C высоту CP на сторону AB (или её продолжение) в треугольнике ABC. Так как $MH \perp AB$ и $CP \perp AB$, то прямые MH и CP параллельны ($MH \parallel CP$).

Рассмотрим треугольник ACP. В нём точка M является серединой стороны AC, а отрезок MH параллелен стороне CP. По теореме о средней линии треугольника, отрезок MH является средней линией треугольника ACP.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом:$MH = \frac{1}{2} CP$

Зная длину MH, мы можем найти длину высоты CP:$CP = 2 \cdot MH = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь рассмотрим треугольник BPC. Этот треугольник является прямоугольным, так как $CP$ — высота ($\angle CPB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна длина катета CP и величина угла $\angle PBC$, который совпадает с углом $\angle ABC = 30^\circ$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:$\sin(\angle PBC) = \frac{CP}{BC}$

Подставим известные значения в формулу:$\sin(30^\circ) = \frac{8}{BC}$

Поскольку значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:$\frac{1}{2} = \frac{8}{BC}$

Отсюда находим длину искомого отрезка BC:$BC = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Ответ: 16 см.