Номер 127, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ середина боковой стороны удалена от основания на 6 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника $ABC$ до вершины $B$.

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) середина боковой стороны удалена от основания на 6 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника $ABC$ до вершины $B$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, где $AB = BC$. Проведем высоту и медиану $BK$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Таким образом, $K$ — середина $AC$ и $BK \perp AC$.

Пусть точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию, расстояние от точки $M$ до основания $AC$ равно 6 см. Это расстояние есть длина перпендикуляра $MH$, опущенного из точки $M$ на прямую $AC$. Итак, $MH = 6$ см и $MH \perp AC$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В этом треугольнике:

• $M$ — середина стороны $AB$ (по условию).
• $MH \parallel BK$ (так как обе прямые перпендикулярны $AC$).

По свойству средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), если отрезок проходит через середину одной стороны треугольника параллельно второй стороне, то он является средней линией. Следовательно, $MH$ — средняя линия треугольника $ABK$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Значит:

$MH = \frac{1}{2} BK$

Мы знаем, что $MH = 6$ см, поэтому можем найти длину медианы $BK$:

$6 = \frac{1}{2} BK$

$BK = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь найдем искомое расстояние. Точка пересечения медиан (центроид) треугольника, обозначим ее $O$, делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Точка $O$ лежит на медиане $BK$.

Следовательно, $BO : OK = 2 : 1$. Это означает, что длина отрезка $BO$ составляет $\frac{2}{3}$ от всей длины медианы $BK$.

$BO = \frac{2}{3} BK = \frac{2}{3} \cdot 12 = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.