Номер 131, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. На медиане AD треугольника ABC отметили точку F так, что $AF : FD = 7 : 4$. В каком отношении прямая BF делит сторону AC?

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $F$ так, что $AF : FD = 7 : 4$. В каком отношении прямая $BF$ делит сторону $AC$?

Пусть прямая BF пересекает сторону AC в точке K. Нам необходимо найти отношение $\frac{AK}{KC}$.

Способ 1: Метод дополнительного построения

Проведем через точку D прямую DM, параллельную прямой BF, где M — точка пересечения со стороной AC. Таким образом, $DM \parallel BK$.

Рассмотрим треугольник CBK. Так как AD — медиана, то D — середина стороны BC. По построению $DM \parallel BK$. Согласно теореме Фалеса, если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. Следовательно, M — середина отрезка CK. Это означает, что $CM = MK$.

Теперь рассмотрим треугольник ADM. В нем отрезок FK параллелен основанию DM ($FK \parallel DM$). По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса):
$\frac{AK}{KM} = \frac{AF}{FD}$

Из условия задачи известно, что $AF : FD = 7 : 4$. Подставим это значение в пропорцию:
$\frac{AK}{KM} = \frac{7}{4}$

Теперь мы можем связать длины всех отрезков. Пусть $KM = 4x$ для некоторого $x > 0$. Тогда из пропорции следует, что $AK = 7x$.
Поскольку M — середина CK, то $CK = 2 \cdot KM = 2 \cdot 4x = 8x$.

Наконец, найдем искомое отношение:
$\frac{AK}{KC} = \frac{7x}{8x} = \frac{7}{8}$

Таким образом, прямая BF делит сторону AC в отношении 7 : 8, считая от вершины A.
Ответ: 7 : 8.

Способ 2: Применение теоремы Менелая

Рассмотрим треугольник ADC и секущую BFK. Эта прямая пересекает стороны AC и AD треугольника в точках K и F соответственно, а также продолжение стороны CD в точке B.

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей BFK справедливо следующее соотношение:
$\frac{AK}{KC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DF}{FA} = 1$

Определим значения для каждого сомножителя в этом выражении. Отношение $\frac{AK}{KC}$ является искомым. Поскольку AD — медиана треугольника ABC, точка D — середина стороны BC. Это значит, что $CB = 2 \cdot BD$, и, следовательно, отношение $\frac{CB}{BD} = \frac{2 \cdot BD}{BD} = 2$. Из условия задачи $AF : FD = 7 : 4$, что означает $\frac{AF}{FD} = \frac{7}{4}$ и обратное отношение $\frac{DF}{FA} = \frac{4}{7}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:
$\frac{AK}{KC} \cdot 2 \cdot \frac{4}{7} = 1$

Упростим выражение:
$\frac{AK}{KC} \cdot \frac{8}{7} = 1$

Отсюда находим искомое отношение:
$\frac{AK}{KC} = \frac{7}{8}$

Прямая BF делит сторону AC в отношении 7 : 8.
Ответ: 7 : 8.