Номер 130, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 7$ см, $BC = 15$ см, $AC = 11$ см. В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $BD$?

130. В треугольнике $ABC$ $AB = 7$ см, $BC = 15$ см, $AC = 11$ см. В каком отношении центр окружности, вписанной в треугольник, делит его биссектрису $BD$?

Пусть $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. По определению, центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе $BD$.

Чтобы найти отношение, в котором точка $O$ делит отрезок $BD$ (то есть найти $BO:OD$), рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $AO$ также является биссектрисой, так как он соединяет вершину $A$ с инцентром $O$. Применим к треугольнику $ABD$ свойство биссектрисы угла: биссектриса $AO$ делит противолежащую сторону $BD$ на отрезки ($BO$ и $OD$), пропорциональные двум другим сторонам треугольника ($AB$ и $AD$).

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{AD} $$

Для вычисления этого отношения необходимо найти длину отрезка $AD$. Длину $AD$ можно найти, применив свойство биссектрисы $BD$ к исходному треугольнику $ABC$. Биссектриса $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $DC$ пропорционально прилежащим сторонам $AB$ и $BC$:

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

Подставим известные значения: $AB = 7$ см, $BC = 15$ см, $AC = 11$ см.

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{7}{15} $$

При этом мы знаем, что $AD + DC = AC = 11$. Из этого соотношения выразим $DC = 11 - AD$ и подставим в пропорцию:

$$ \frac{AD}{11 - AD} = \frac{7}{15} $$

Решим полученное уравнение методом перекрестного умножения:

$$ 15 \cdot AD = 7(11 - AD) $$

$$ 15 \cdot AD = 77 - 7 \cdot AD $$

$$ 15 \cdot AD + 7 \cdot AD = 77 $$

$$ 22 \cdot AD = 77 $$

$$ AD = \frac{77}{22} = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ см} $$

Теперь вернемся к отношению для отрезков биссектрисы $BD$ и подставим известные значения $AB$ и найденное значение $AD$:

$$ \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{AD} = \frac{7}{3.5} = 2 $$

Следовательно, искомое отношение $BO:OD$ равно $2:1$.

Ответ: $2:1$.