Номер 128, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Отрезок $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $AD$ и $DC$, если $AB = 8$ см, $BC = 14$ см, $AC = 11$ см;

2) сторону $BC$, если $AD : DC = 2 : 3, AB = 18$ см;

3) стороны $AB$ и $BC$, если $AB + BC = 56$ см, $AD = 9$ см, $DC = 15$ см.

128. Отрезок $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $AD$ и $DC$, если $AB = 8$ см, $BC = 14$ см, $AC = 11$ см;

2) сторону $BC$, если $AD : DC = 2 : 3$, $AB = 18$ см;

3) стороны $AB$ и $BC$, если $AB + BC = 56$ см, $AD = 9$ см, $DC = 15$ см.

Во всех пунктах задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $BD$ это свойство записывается в виде пропорции: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.

1) Дано: $AB = 8$ см, $BC = 14$ см, $AC = 11$ см.
Согласно свойству биссектрисы: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Пусть длина отрезка $AD$ равна $4x$ см, тогда длина отрезка $DC$ равна $7x$ см.
Сумма длин этих отрезков равна длине стороны $AC$:
$AD + DC = AC$
$4x + 7x = 11$
$11x = 11$
$x = 1$
Следовательно, $AD = 4 \cdot 1 = 4$ см, а $DC = 7 \cdot 1 = 7$ см.
Ответ: $AD = 4$ см, $DC = 7$ см.

2) Дано: $AD : DC = 2 : 3$, $AB = 18$ см.
Из свойства биссектрисы имеем: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.
Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{18}{BC} = \frac{2}{3}$
Теперь решим эту пропорцию относительно $BC$:
$2 \cdot BC = 18 \cdot 3$
$2 \cdot BC = 54$
$BC = \frac{54}{2} = 27$ см.
Ответ: $BC = 27$ см.

3) Дано: $AB + BC = 56$ см, $AD = 9$ см, $DC = 15$ см.
Используем свойство биссектрисы: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.
Подставим длины отрезков $AD$ и $DC$:
$\frac{AB}{BC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$
Из этой пропорции можно выразить $AB$ через $BC$: $AB = \frac{3}{5}BC$.
Теперь подставим это выражение в известное нам равенство $AB + BC = 56$:
$\frac{3}{5}BC + BC = 56$
$\frac{3}{5}BC + \frac{5}{5}BC = 56$
$\frac{8}{5}BC = 56$
$BC = \frac{56 \cdot 5}{8} = 7 \cdot 5 = 35$ см.
Теперь найдем $AB$:
$AB = 56 - BC = 56 - 35 = 21$ см.
Ответ: $AB = 21$ см, $BC = 35$ см.