Страница 18 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Через точку $E$ — середину боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $CD$ и пересекающая основание $AD$ в точке $F$. Найдите сторону $CD$, если $EF = 10$ см.

119. Через точку $E$ — середину боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $CD$ и пересекающая основание $AD$ в точке $F$. Найдите сторону $CD$, если $EF = 10$ см.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$). Точка E — середина боковой стороны AB. Через точку E проведена прямая, параллельная стороне CD, которая пересекает основание AD в точке F. По условию, $AE = EB$, $EF \parallel CD$ и $EF = 10$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем через точку B прямую, параллельную стороне CD. Пусть эта прямая пересекает основание AD в точке G.

Рассмотрим получившийся четырехугольник BCDG. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка G лежит на прямой AD, то $BC \parallel GD$. По нашему построению, $BG \parallel CD$. Поскольку противолежащие стороны четырехугольника BCDG попарно параллельны, он является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, следовательно, $CD = BG$.

Теперь рассмотрим треугольник ABG. Точка E — середина стороны AB по условию задачи. Из условия также известно, что $EF \parallel CD$. Из нашего построения следует, что $BG \parallel CD$. Таким образом, из свойства транзитивности параллельных прямых следует, что $EF \parallel BG$.

В треугольнике ABG отрезок EF выходит из середины стороны AB (точка E) и параллелен стороне BG. По теореме о средней линии треугольника, отрезок EF является средней линией треугольника ABG.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Отсюда следует равенство: $EF = \frac{1}{2} BG$

Подставим в это равенство известное значение $EF = 10$ см: $10 = \frac{1}{2} BG$

Выразим из этого уравнения длину BG: $BG = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ранее мы установили, что $CD = BG$. Следовательно, длина стороны CD также равна 20 см.

Ответ: 20 см.

120. В окружности проведены хорды $AB$ и $AC$. Расстояние от середины хорды $AC$ до хорды $AB$ равно 4 см. Найдите длину отрезка $BC$, если $\angle ABC = 30^\circ$.

120. В окружности проведены хорды $AB$ и $AC$. Расстояние от середины хорды $AC$ до хорды $AB$ равно 4 см. Найдите длину отрезка $BC$, если $\angle ABC = 30^\circ$.

Пусть M — середина хорды AC. Опустим из точки M перпендикуляр MH на хорду AB. По условию, расстояние от точки M до хорды AB равно 4 см, следовательно, длина этого перпендикуляра $MH = 4$ см.

Проведём из вершины C высоту CP на сторону AB (или её продолжение) в треугольнике ABC. Так как $MH \perp AB$ и $CP \perp AB$, то прямые MH и CP параллельны ($MH \parallel CP$).

Рассмотрим треугольник ACP. В нём точка M является серединой стороны AC, а отрезок MH параллелен стороне CP. По теореме о средней линии треугольника, отрезок MH является средней линией треугольника ACP.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом:$MH = \frac{1}{2} CP$

Зная длину MH, мы можем найти длину высоты CP:$CP = 2 \cdot MH = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь рассмотрим треугольник BPC. Этот треугольник является прямоугольным, так как $CP$ — высота ($\angle CPB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна длина катета CP и величина угла $\angle PBC$, который совпадает с углом $\angle ABC = 30^\circ$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:$\sin(\angle PBC) = \frac{CP}{BC}$

Подставим известные значения в формулу:$\sin(30^\circ) = \frac{8}{BC}$

Поскольку значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:$\frac{1}{2} = \frac{8}{BC}$

Отсюда находим длину искомого отрезка BC:$BC = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Ответ: 16 см.

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых на 5 см больше другого. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 6 см.

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых на 5 см больше другого. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 6 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. $MN$ — средняя линия трапеции, где точка $M$ лежит на боковой стороне $AB$, а точка $N$ — на боковой стороне $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $P$.

По свойству средней линии трапеции, она параллельна основаниям. Таким образом, $MN \parallel BC$ и $MN \parallel AD$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MP$ является его частью. Так как $M$ — середина стороны $AB$ (по определению средней линии трапеции) и $MP \parallel BC$, то $MP$ является средней линией треугольника $ABC$. Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна.

По условию, меньшее основание $BC = 6$ см. Тогда:
$MP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $PN$ является его частью. Так как $N$ — середина стороны $CD$ и $PN \parallel AD$, то $PN$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно:
$PN = \frac{1}{2} AD$

По условию задачи, диагональ делит среднюю линию на отрезки, один из которых на 5 см больше другого. Это отрезки $MP$ и $PN$. Поскольку $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее, то $PN > MP$. Значит, разница их длин равна 5 см:
$PN - MP = 5$

Мы уже нашли, что $MP = 3$ см. Подставим это значение в уравнение:
$PN - 3 = 5$
$PN = 3 + 5 = 8$ см.

Зная длину отрезка $PN$, мы можем найти длину большего основания $AD$:
$PN = \frac{1}{2} AD$
$8 = \frac{1}{2} AD$
$AD = 8 \times 2 = 16$ см.

Ответ: 16 см.

122. Основания трапеции равны 8 см и 12 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках $M$ и $K$. Найдите отрезок $MK$.

122. Основания трапеции равны 8 см и 12 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках $M$ и $K$. Найдите отрезок $MK$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, длины оснований равны $AD = 12$ см и $BC = 8$ см. Пусть $EF$ — средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон $AB$ и $CD$. По свойству, средняя линия $EF$ параллельна основаниям $AD$ и $BC$.

Диагональ $BD$ пересекает среднюю линию $EF$ в точке $K$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как точка $E$ является серединой стороны $AB$ и отрезок $EK$ параллелен основанию $AD$ (поскольку $EK$ лежит на средней линии), то $EK$ является средней линией треугольника $ABD$. Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельного ей основания, следовательно:
$EK = \frac{1}{2} AD = \frac{12}{2} = 6$ см.

Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $EF$ в точке $M$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как точка $E$ является серединой стороны $AB$ и отрезок $EM$ параллелен основанию $BC$, то $EM$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно:
$EM = \frac{1}{2} BC = \frac{8}{2} = 4$ см.

Отрезок $MK$ является частью средней линии $EF$. Его длина находится как разность длин отрезков $EK$ и $EM$ (так как большему основанию $AD$ соответствует больший отрезок $EK$):
$MK = EK - EM = 6 \text{ см} - 4 \text{ см} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

123. Основания трапеции равны 10 см и 6 см. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции.

123. Основания трапеции равны 10 см и 6 см. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями $a = 10$ см и $b = 6$ см. Боковую сторону разделили на 4 равных отрезка, и через точки деления провели 3 прямые, параллельные основаниям. Найдем длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции.

Существует свойство, согласно которому длины отрезков, параллельных основаниям трапеции и делящих боковую сторону на равные части, вместе с длинами оснований образуют арифметическую прогрессию.

В нашем случае имеется 5 параллельных отрезков: меньшее основание, три искомых отрезка и большее основание. Их длины образуют арифметическую прогрессию. Обозначим члены этой прогрессии как $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$.
Первый член прогрессии — это длина меньшего основания: $x_1 = 6$ см.
Пятый член прогрессии — это длина большего основания: $x_5 = 10$ см.
Нам необходимо найти $x_2, x_3, x_4$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для $n=5$:
$x_5 = x_1 + (5-1)d$
$10 = 6 + 4d$
$4d = 10 - 6$
$4d = 4$
$d = 1$ см.

Теперь, зная разность прогрессии, мы можем последовательно найти длины искомых отрезков:
Длина первого отрезка (ближайшего к основанию 6 см): $x_2 = x_1 + d = 6 + 1 = 7$ см.
Длина второго (среднего) отрезка: $x_3 = x_2 + d = 7 + 1 = 8$ см. Стоит отметить, что этот отрезок является средней линией трапеции, и его длину можно было найти по формуле полусуммы оснований: $(6+10)/2 = 8$ см.
Длина третьего отрезка (ближайшего к основанию 10 см): $x_4 = x_3 + d = 8 + 1 = 9$ см.

Ответ: длины отрезков равны 7 см, 8 см и 9 см.

124. Сторону $BC$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AB$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если $AB = 12$ см.

124. Сторону $BC$ треугольника $ABC$ разделили на 3 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AB$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $ABC$, если $AB = 12$ см.

Пусть в треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что они делят сторону на три равных отрезка. Для удобства рассуждений, расположим точки в порядке $B, D, E, C$. Тогда $BD = DE = EC$. Пусть $BD = DE = EC = x$, следовательно, длина всей стороны $BC = 3x$. Через точки $D$ и $E$ проведены прямые, параллельные стороне $AB$. Пусть прямая, проходящая через точку $D$, пересекает сторону $AC$ в точке $F$, а прямая, проходящая через точку $E$, пересекает $AC$ в точке $G$. Таким образом, $DF \parallel AB$ и $EG \parallel AB$. Требуется найти длины отрезков $DF$ и $EG$, если известно, что $AB = 12$ см.

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников.

Сначала найдем длину отрезка $EG$. Рассмотрим треугольники $\triangle CGE$ и $\triangle CAB$. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников. Так как по построению $EG \parallel AB$, то углы $\angle CEG$ и $\angle CBA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $EG$ и $AB$ и секущей $BC$. Следовательно, треугольник $\triangle CGE$ подобен треугольнику $\triangle CAB$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{EG}{AB} = \frac{CE}{CB} $

Из условия $CE = x$ и $CB = 3x$. Подставим известные значения в пропорцию: $ \frac{EG}{12} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} $ Отсюда находим длину $EG$: $ EG = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4 $ см.

Теперь найдем длину отрезка $DF$. Рассмотрим треугольники $\triangle CDF$ и $\triangle CAB$. Угол $\angle C$ у них также общий. Так как $DF \parallel AB$, то углы $\angle CDF$ и $\angle CBA$ равны как соответственные. Следовательно, треугольник $\triangle CDF$ подобен треугольнику $\triangle CAB$ по двум углам.

Из подобия следует соотношение: $ \frac{DF}{AB} = \frac{CD}{CB} $

Длина отрезка $CD$ равна сумме длин отрезков $CE$ и $ED$: $CD = x + x = 2x$. Длина стороны $CB = 3x$. Подставим эти значения: $ \frac{DF}{12} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} $ Отсюда находим длину $DF$: $ DF = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8 $ см.

Ответ: длины отрезков равны 4 см и 8 см.

125. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка $M$ пересечения медиан удалена от основания на 4 см. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины $B$.

125. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка $M$ пересечения медиан удалена от основания на 4 см. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины $B$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ ($AB = BC$). Точка $M$ — это точка пересечения медиан. Проведем медиану $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, отрезок $BH$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BH \perp AC$).

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Так как точка $M$ (точка пересечения медиан) лежит на медиане $BH$, которая одновременно является и высотой, то расстояние от точки $M$ до основания $AC$ равно длине отрезка $MH$. По условию задачи, это расстояние составляет 4 см, следовательно, $MH = 4$ см.

Точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BH$ это свойство записывается как следующее соотношение:
$BM : MH = 2 : 1$

Из этого соотношения мы можем выразить длину отрезка $BM$ через $MH$:
$BM = 2 \times MH$

Подставив известное значение $MH = 4$ см, мы можем вычислить искомое расстояние от точки $M$ до вершины $B$:
$BM = 2 \times 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

126. Медианы прямоугольного треугольника $ABC (\angle C = 90^\circ)$ пересекаются в точке $M$. Найдите гипотенузу $AB$, если $CM = 6$ см.

126. Медианы прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $M$. Найдите гипотенузу $AB$, если $CM = 6$ см.

По условию, в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $) медианы пересекаются в точке $M$. Известно, что $CM = 6$ см. Требуется найти гипотенузу $AB$.

Обозначим медиану, проведенную из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, как $CK$. Точка $K$ является серединой гипотенузы $AB$.

Точка $M$ является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника. Согласно свойству медиан, они делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, для медианы $CK$ выполняется соотношение:

$ \frac{CM}{MK} = \frac{2}{1} $

Зная, что $CM = 6$ см, найдем длину отрезка $MK$:

$MK = \frac{CM}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь можем найти полную длину медианы $CK$, которая равна сумме длин ее частей $CM$ и $MK$:

$CK = CM + MK = 6 + 3 = 9$ см.

В прямоугольном треугольнике существует важное свойство: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Для нашего треугольника это означает:

$CK = \frac{1}{2} AB$

Отсюда можно выразить длину гипотенузы $AB$:

$AB = 2 \cdot CK$

Подставим найденное значение длины медианы $CK$:

$AB = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

127. В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ середина боковой стороны удалена от основания на 6 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника $ABC$ до вершины $B$.

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) середина боковой стороны удалена от основания на 6 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника $ABC$ до вершины $B$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, где $AB = BC$. Проведем высоту и медиану $BK$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Таким образом, $K$ — середина $AC$ и $BK \perp AC$.

Пусть точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию, расстояние от точки $M$ до основания $AC$ равно 6 см. Это расстояние есть длина перпендикуляра $MH$, опущенного из точки $M$ на прямую $AC$. Итак, $MH = 6$ см и $MH \perp AC$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В этом треугольнике:

• $M$ — середина стороны $AB$ (по условию).
• $MH \parallel BK$ (так как обе прямые перпендикулярны $AC$).

По свойству средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), если отрезок проходит через середину одной стороны треугольника параллельно второй стороне, то он является средней линией. Следовательно, $MH$ — средняя линия треугольника $ABK$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Значит:

$MH = \frac{1}{2} BK$

Мы знаем, что $MH = 6$ см, поэтому можем найти длину медианы $BK$:

$6 = \frac{1}{2} BK$

$BK = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь найдем искомое расстояние. Точка пересечения медиан (центроид) треугольника, обозначим ее $O$, делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Точка $O$ лежит на медиане $BK$.

Следовательно, $BO : OK = 2 : 1$. Это означает, что длина отрезка $BO$ составляет $\frac{2}{3}$ от всей длины медианы $BK$.

$BO = \frac{2}{3} BK = \frac{2}{3} \cdot 12 = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

128. Отрезок $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $AD$ и $DC$, если $AB = 8$ см, $BC = 14$ см, $AC = 11$ см;

2) сторону $BC$, если $AD : DC = 2 : 3, AB = 18$ см;

3) стороны $AB$ и $BC$, если $AB + BC = 56$ см, $AD = 9$ см, $DC = 15$ см.

128. Отрезок $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $AD$ и $DC$, если $AB = 8$ см, $BC = 14$ см, $AC = 11$ см;

2) сторону $BC$, если $AD : DC = 2 : 3$, $AB = 18$ см;

3) стороны $AB$ и $BC$, если $AB + BC = 56$ см, $AD = 9$ см, $DC = 15$ см.

Во всех пунктах задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $BD$ это свойство записывается в виде пропорции: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.

1) Дано: $AB = 8$ см, $BC = 14$ см, $AC = 11$ см.
Согласно свойству биссектрисы: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Пусть длина отрезка $AD$ равна $4x$ см, тогда длина отрезка $DC$ равна $7x$ см.
Сумма длин этих отрезков равна длине стороны $AC$:
$AD + DC = AC$
$4x + 7x = 11$
$11x = 11$
$x = 1$
Следовательно, $AD = 4 \cdot 1 = 4$ см, а $DC = 7 \cdot 1 = 7$ см.
Ответ: $AD = 4$ см, $DC = 7$ см.

2) Дано: $AD : DC = 2 : 3$, $AB = 18$ см.
Из свойства биссектрисы имеем: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.
Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{18}{BC} = \frac{2}{3}$
Теперь решим эту пропорцию относительно $BC$:
$2 \cdot BC = 18 \cdot 3$
$2 \cdot BC = 54$
$BC = \frac{54}{2} = 27$ см.
Ответ: $BC = 27$ см.

3) Дано: $AB + BC = 56$ см, $AD = 9$ см, $DC = 15$ см.
Используем свойство биссектрисы: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.
Подставим длины отрезков $AD$ и $DC$:
$\frac{AB}{BC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$
Из этой пропорции можно выразить $AB$ через $BC$: $AB = \frac{3}{5}BC$.
Теперь подставим это выражение в известное нам равенство $AB + BC = 56$:
$\frac{3}{5}BC + BC = 56$
$\frac{3}{5}BC + \frac{5}{5}BC = 56$
$\frac{8}{5}BC = 56$
$BC = \frac{56 \cdot 5}{8} = 7 \cdot 5 = 35$ см.
Теперь найдем $AB$:
$AB = 56 - BC = 56 - 35 = 21$ см.
Ответ: $AB = 21$ см, $BC = 35$ см.