Номер 119, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Вариант 1. Упражнения - номер 119, страница 18.

Условие 2017.

119. Через точку $E$ — середину боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $CD$ и пересекающая основание $AD$ в точке $F$. Найдите сторону $CD$, если $EF = 10$ см.

Условие 2021.

119. Через точку $E$ — середину боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $CD$ и пересекающая основание $AD$ в точке $F$. Найдите сторону $CD$, если $EF = 10$ см.

Решение 2021.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$). Точка E — середина боковой стороны AB. Через точку E проведена прямая, параллельная стороне CD, которая пересекает основание AD в точке F. По условию, $AE = EB$, $EF \parallel CD$ и $EF = 10$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем через точку B прямую, параллельную стороне CD. Пусть эта прямая пересекает основание AD в точке G.

Рассмотрим получившийся четырехугольник BCDG. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка G лежит на прямой AD, то $BC \parallel GD$. По нашему построению, $BG \parallel CD$. Поскольку противолежащие стороны четырехугольника BCDG попарно параллельны, он является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, следовательно, $CD = BG$.

Теперь рассмотрим треугольник ABG. Точка E — середина стороны AB по условию задачи. Из условия также известно, что $EF \parallel CD$. Из нашего построения следует, что $BG \parallel CD$. Таким образом, из свойства транзитивности параллельных прямых следует, что $EF \parallel BG$.

В треугольнике ABG отрезок EF выходит из середины стороны AB (точка E) и параллелен стороне BG. По теореме о средней линии треугольника, отрезок EF является средней линией треугольника ABG.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Отсюда следует равенство: $EF = \frac{1}{2} BG$

Подставим в это равенство известное значение $EF = 10$ см: $10 = \frac{1}{2} BG$

Выразим из этого уравнения длину BG: $BG = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ранее мы установили, что $CD = BG$. Следовательно, длина стороны CD также равна 20 см.

Ответ: 20 см.