Номер 115, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Параллельные прямые $b$, $m$ и $n$ пересекают стороны угла $MAN$ (рис. 19). Найдите отрезки $AB_1$ и $BD$, если $AB = 4$ см, $CD = 8$ см, $B_1C_1 = 5$ см, $C_1D_1 = 6$ см.

Рис. 19

115. Параллельные прямые $b$, $m$ и $n$ пересекают стороны угла $MAN$ (рис. 19). Найдите отрезки $AB_1$ и $BD$, если $AB = 4$ см, $CD = 8$ см, $B_1C_1 = 5$ см, $C_1D_1 = 6$ см.

Рис. 19

Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне.

Для угла MAN, стороны которого пересечены параллельными прямыми b, m и n, справедливо следующее соотношение для отрезков на сторонах AM и AN:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{AB_1}{B_1C_1} $ и $ \frac{BC}{CD} = \frac{B_1C_1}{C_1D_1} $

Из этих пропорций можно также вывести, что отношение любых двух отрезков на одной стороне равно отношению соответствующих отрезков на другой стороне. Например:

$ \frac{AB}{CD} = \frac{AB_1}{C_1D_1} $

Нахождение отрезка AB₁

Для нахождения длины отрезка $AB_1$ воспользуемся пропорцией, связывающей известные отрезки $AB$, $CD$ и $C_1D_1$ с искомым отрезком $AB_1$:

$ \frac{AB}{CD} = \frac{AB_1}{C_1D_1} $

Подставим известные из условия значения: $AB = 4$ см, $CD = 8$ см, $C_1D_1 = 6$ см.

$ \frac{4}{8} = \frac{AB_1}{6} $

Упростим левую часть дроби:

$ \frac{1}{2} = \frac{AB_1}{6} $

Теперь выразим $AB_1$:

$ AB_1 = \frac{6}{2} = 3 $ см.

Ответ: $AB_1 = 3$ см.

Нахождение отрезка BD

Отрезок $BD$ является суммой отрезков $BC$ и $CD$. Длина отрезка $CD$ дана в условии ($CD = 8$ см). Следовательно, для нахождения $BD$ нам сначала нужно найти длину отрезка $BC$.

1. Найдем $BC$ из пропорции $ \frac{BC}{CD} = \frac{B_1C_1}{C_1D_1} $.

Подставим известные значения: $CD = 8$ см, $B_1C_1 = 5$ см, $C_1D_1 = 6$ см.

$ \frac{BC}{8} = \frac{5}{6} $

Выразим $BC$:

$ BC = \frac{8 \cdot 5}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} $ см.

2. Теперь найдем длину отрезка $BD$, сложив длины отрезков $BC$ и $CD$:

$ BD = BC + CD = \frac{20}{3} + 8 $

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$ BD = \frac{20}{3} + \frac{24}{3} = \frac{44}{3} $ см.

Для удобства можно представить ответ в виде смешанного числа: $ \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3} $ см.

Ответ: $BD = 14 \frac{2}{3}$ см.