Номер 112, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Вариант 1. Упражнения - номер 112, страница 16.

Условие 2017.

112. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 6 см, а большая боковая сторона этой трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Условие 2021.

112. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 6 см, а большая боковая сторона этой трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 2021.

Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$ и $d$.

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции $h$. Пусть это будет сторона $c$. Тогда $c = h$. Вторая боковая сторона $d$ является наклонной и будет большей боковой стороной. По условию, ее длина $d = 20$ см.

Если в трапецию вписана окружность, то ее высота равна диаметру этой окружности. Радиус вписанной окружности $r = 6$ см.

Найдем высоту трапеции $h$:
$h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Таким образом, меньшая боковая сторона $c$ равна высоте $h$, то есть $c = 12$ см.

Ключевое свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы его противолежащих сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = c + d$

Подставим известные значения длин боковых сторон: $a + b = 12 + 20 = 32$ см.

Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме ее оснований: $m = \frac{a + b}{2}$

Теперь мы можем вычислить среднюю линию: $m = \frac{32}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.