Номер 117, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $AC = 16$ см. Точка $M$ — середина катета $BC$. Найдите расстояние от точки $M$ до гипотенузы $AB$.

117. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $AC = 16$ см. Точка $M$ — середина катета $BC$. Найдите расстояние от точки $M$ до гипотенузы $AB$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$ и катетом $AC = 16$ см. Точка $M$ — середина катета $BC$. Требуется найти расстояние от точки $M$ до гипотенузы $AB$.

1. Сначала найдем величину угла $B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для прямоугольного треугольника $ABC$:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Теперь найдем длину катета $BC$, противолежащего углу $A$. Мы можем использовать определение тангенса в прямоугольном треугольнике $ABC$:
$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$
Отсюда $BC = AC \cdot \tan(\angle A)$. Подставляем известные значения:
$BC = 16 \cdot \tan(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см.

3. По условию, точка $M$ является серединой катета $BC$. Следовательно, длина отрезка $MB$ равна половине длины катета $BC$:
$MB = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

4. Расстояние от точки $M$ до гипотенузы $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на гипотенузу $AB$. Обозначим этот перпендикуляр $MH$, где точка $H$ лежит на $AB$. Таким образом, $\triangle MHB$ является прямоугольным треугольником, так как $\angle MHB = 90^\circ$.

5. В прямоугольном треугольнике $MHB$ мы знаем гипотенузу $MB = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см и острый угол $\angle B = 60^\circ$. Искомое расстояние $MH$ является катетом, противолежащим углу $B$. Используем определение синуса:
$\sin(\angle B) = \frac{MH}{MB}$
Отсюда $MH = MB \cdot \sin(\angle B)$. Подставляем известные значения:
$MH = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sin(60^\circ)$
Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$MH = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.