Номер 118, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $BC = 8$ см. Через середину стороны $AC$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $BC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

118. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $BC = 8$ см. Через середину стороны $AC$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $BC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

Пусть $M$ — середина стороны $AC$ в треугольнике $ABC$. Через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$, которая пересечет сторону $BC$ в точке $K$. Также через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $BC$, которая пересечет сторону $AB$ в точке $N$. Таким образом, мы получаем четырехугольник $NBMK$.
Рассмотрим данный четырехугольник. По построению, сторона $MN$ параллельна стороне $BC$ (а значит, и отрезку $BK$), а сторона $MK$ параллельна стороне $AB$ (а значит, и отрезку $NB$). Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $NBMK$ — параллелограмм.
Теперь найдем длины сторон этого параллелограмма. Рассмотрим отрезок $MK$. Так как он проходит через середину стороны $AC$ (точку $M$) и параллелен стороне $AB$, то $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна.
$MK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Аналогично, рассмотрим отрезок $MN$. Он проходит через середину стороны $AC$ (точку $M$) и параллелен стороне $BC$. Следовательно, $MN$ также является средней линией треугольника $ABC$.
$MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Периметр параллелограмма $NBMK$ равен удвоенной сумме длин его смежных сторон:
$P_{NBMK} = 2 \cdot (MK + MN) = 2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Ответ: 14 см.