Номер 111, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 8 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 60 см.

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 8 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 60 см.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$. Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны.

По свойству описанного четырёхугольника (четырёхугольника, в который можно вписать окружность), суммы его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:

$a + b = c + c = 2c$

Периметр трапеции $P$ равен сумме всех её сторон:

$P = a + b + c + c = (a+b) + 2c$

Используя свойство описанного четырёхугольника, мы можем записать периметр как:

$P = 2c + 2c = 4c$

По условию, периметр равен 60 см. Найдем длину боковой стороны:

$4c = 60$

$c = \frac{60}{4} = 15$ см

Таким образом, длина каждой боковой стороны равна 15 см.

По условию, точка касания делит боковую сторону на два отрезка, один из которых равен 8 см. Пусть это будут отрезки $x$ и $y$. Тогда:

$x = 8$ см

$y = c - x = 15 - 8 = 7$ см

Итак, боковая сторона делится на отрезки длиной 8 см и 7 см.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины, отрезки боковой стороны от точки касания до вершин равны отрезкам оснований от этих же вершин до точек касания. В равнобокой трапеции основания равны удвоенным прилежащим к ним отрезкам боковой стороны. Большему основанию соответствует больший отрезок, а меньшему — меньший.

Следовательно, длины оснований трапеции равны:

$a = 2 \cdot 8 = 16$ см

$b = 2 \cdot 7 = 14$ см

Проверим: сумма оснований $16 + 14 = 30$ см. Сумма боковых сторон $15 + 15 = 30$ см. Равенство выполняется. Периметр $30 + 30 = 60$ см. Условие выполняется.

Ответ: основания трапеции равны 14 см и 16 см.