Номер 113, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Вариант 1. Упражнения - номер 113, страница 17.

Условие 2017.

113. Начертите произвольный отрезок $MN$ и постройте на нём точку $K$ такую, что $MK : KN = 2 : 3$.

Условие 2021.

113. Начертите произвольный отрезок $MN$ и постройте на нём точку $K$ такую, что $MK : KN = 2 : 3$.

Решение 2021.

Чтобы построить на отрезке MN точку K, которая делит его в отношении $MK : KN = 2 : 3$, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений:

1. Начертите произвольный отрезок MN.

2. Из точки M проведите произвольный луч l, не лежащий на прямой MN. Для удобства построения угол между отрезком MN и лучом l лучше сделать острым.

3. На луче l от точки M отложите с помощью циркуля 5 равных отрезков произвольной длины. Общее количество отрезков равно сумме чисел в отношении, то есть $2 + 3 = 5$. Обозначим полученные точки как $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$. Таким образом, мы имеем $MM_1 = M_1M_2 = M_2M_3 = M_3M_4 = M_4M_5$.

4. Соедините точку $M_5$ с точкой N, получив отрезок $M_5N$.

5. Теперь необходимо построить прямую, проходящую через точку $M_2$ (вторую точку, так как в отношении $MK:KN$ первая часть равна 2) и параллельную отрезку $M_5N$. Это можно сделать, построив угол при вершине $M_2$, равный углу $MM_5N$.

6. Точка пересечения построенной параллельной прямой с отрезком MN и будет искомой точкой K.

Обоснование:

По теореме Фалеса (обобщенной теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые ($M_2K$ и $M_5N$) пересекают стороны угла ($NML$), то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Следовательно, справедливо соотношение:

$ \frac{MK}{KN} = \frac{MM_2}{M_2M_5} $

По построению, отрезок $MM_2$ состоит из 2 равных частей, а отрезок $M_2M_5$ состоит из $5 - 2 = 3$ таких же частей. Таким образом:

$ \frac{MM_2}{M_2M_5} = \frac{2}{3} $

А значит, и $MK : KN = 2 : 3$, что и требовалось построить.

Иллюстрация процесса построения:

Ответ:

Точка K построена на отрезке MN и делит его в заданном отношении $MK : KN = 2 : 3$.