Номер 106, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $32^{\circ}$. Найдите углы трапеции.

106. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой лежит на большем основании. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $32^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, вписанная в окружность. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, центр окружности $O$ лежит на большем основании $AD$. Это означает, что $AD$ является диаметром окружности.

Диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне (например, $CD$), равен $32^\circ$. Таким образом, $\angle CPD = 32^\circ$.

Воспользуемся свойством углов между пересекающимися хордами в окружности. Величина угла, образованного двумя пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

В нашем случае, угол $\angle CPD$ измеряется полусуммой дуг $CD$ и $AB$:

$\angle CPD = \frac{1}{2}(\text{дуга } CD + \text{дуга } AB)$

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, то её боковые стороны равны ($AB = CD$), а значит, равны и дуги, которые они стягивают: $\text{дуга } AB = \text{дуга } CD$.

Подставим это равенство в формулу:

$32^\circ = \frac{1}{2}(\text{дуга } CD + \text{дуга } CD) = \text{дуга } CD$

Таким образом, градусная мера дуги $CD$ равна $32^\circ$. Соответственно, градусная мера дуги $AB$ также равна $32^\circ$.

Поскольку $AD$ — диаметр, дуга, на которую он опирается (полуокружность), равна $180^\circ$. Вершины $B$ и $C$ лежат на одной из полуокружностей, образованных диаметром $AD$. Следовательно, сумма дуг $AB$, $BC$ и $CD$ равна $180^\circ$.

$\text{дуга } AB + \text{дуга } BC + \text{дуга } CD = 180^\circ$

$32^\circ + \text{дуга } BC + 32^\circ = 180^\circ$

$\text{дуга } BC = 180^\circ - (32^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

Теперь мы можем найти углы трапеции. Углы трапеции являются вписанными углами в окружность, и их величина равна половине дуги, на которую они опираются.

Угол $\angle A$ ($\angle DAB$) опирается на дугу $BCD$.

$\text{дуга } BCD = \text{дуга } BC + \text{дуга } CD = 116^\circ + 32^\circ = 148^\circ$

$\angle DAB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BCD = \frac{1}{2} \cdot 148^\circ = 74^\circ$

Так как трапеция равнобокая, углы при одном основании равны, поэтому угол $\angle D$ ($\angle CDA$) также равен $74^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.

$\angle B = \angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$

Углы при меньшем основании также равны, поэтому $\angle C = \angle BCD = 106^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $74^\circ$, $106^\circ$, $106^\circ$, $74^\circ$.

Ответ: $74^\circ, 106^\circ, 74^\circ, 106^\circ$.