Номер 103, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол $A$ на $58^\circ$ больше угла $B$ и в 4 раза больше угла $C$. Найдите углы четырёхугольника.

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $A$ на $58^\circ$ больше угла $B$ и в 4 раза больше угла $C$. Найдите углы четырёхугольника.

Пусть углы четырехугольника равны $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Это означает, что:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Из условия задачи мы знаем следующие соотношения между углами:

1. Угол $A$ на $58^\circ$ больше угла $B$: $\angle A = \angle B + 58^\circ$.

2. Угол $A$ в 4 раза больше угла $C$: $\angle A = 4 \cdot \angle C$.

Используем свойство суммы противолежащих углов $\angle A$ и $\angle C$ и соотношение между ними из условия. Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \angle A + \angle C = 180^\circ \\ \angle A = 4 \cdot \angle C \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое:

$4 \cdot \angle C + \angle C = 180^\circ$

$5 \cdot \angle C = 180^\circ$

$\angle C = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$

Теперь найдем угол $A$:

$\angle A = 4 \cdot \angle C = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Теперь, зная угол $A$, мы можем найти угол $B$ из первого условия:

$\angle A = \angle B + 58^\circ$

$144^\circ = \angle B + 58^\circ$

$\angle B = 144^\circ - 58^\circ = 86^\circ$

Наконец, найдем угол $D$, используя свойство суммы противолежащих углов $\angle B$ и $\angle D$:

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

$86^\circ + \angle D = 180^\circ$

$\angle D = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$

Таким образом, углы четырехугольника равны: $\angle A = 144^\circ$, $\angle B = 86^\circ$, $\angle C = 36^\circ$, $\angle D = 94^\circ$.

Ответ: $144^\circ, 86^\circ, 36^\circ, 94^\circ$.