Номер 98, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. Через точку C окружности проведена касательная CD, не параллельная диаметру AB (рис. 16). Найдите углы треугольника ABC, если $\angle DCA = 160^\circ$.

Рис. 16

98. Через точку C окружности проведена касательная CD, не параллельная диаметру AB (рис. 16). Найдите углы треугольника ABC, если $\angle DCA = 160^\circ$.

Рис. 16

Поскольку AB является диаметром окружности, а точка C — точкой на этой окружности, то треугольник ABC вписан в окружность, и одна из его сторон является диаметром. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, угол $∠ACB$ прямой. $∠ACB = 90°$.

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. В условии дан угол $∠DCA = 160°$. Этот угол измеряется половиной большей дуги AC, то есть дуги ACB.

Рассмотрим угол, смежный с углом $∠DCA$. Пусть на прямой CD есть точка E, такая что C лежит между D и E. Тогда угол $∠ECA = 180° - ∠DCA$. $∠ECA = 180° - 160° = 20°$.

Угол $∠ECA$ — это угол между касательной EC и хордой AC. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу AC. Вписанным углом, опирающимся на дугу AC, является угол $∠ABC$. Следовательно, $∠ABC = ∠ECA = 20°$.

Зная два угла треугольника ABC ($∠ACB = 90°$ и $∠ABC = 20°$), можем найти третий угол $∠CAB$ из условия, что сумма углов в треугольнике равна $180°$: $∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (90° + 20°) = 180° - 110° = 70°$.

Ответ: углы треугольника ABC равны $∠CAB = 70°$, $∠ABC = 20°$, $∠ACB = 90°$.