Номер 93, страница 14 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Две окружности пересекаются в точках C и D. Через точку C проведены диаметры CA и CB. Найдите углы CAB и CBA, если $\angle ACD = 55^\circ$, $\angle BCD = 70^\circ$.

93. Две окружности пересекаются в точках $C$ и $D$. Через точку $C$ проведены диаметры $CA$ и $CB$. Найдите углы $CAB$ и $CBA$, если $\angle ACD = 55^{\circ}$, $\angle BCD = 70^{\circ}$.

CAB

Рассмотрим первую окружность, в которой $CA$ является диаметром. Точки $A$, $C$ и $D$ лежат на этой окружности. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. В данном случае, угол $ADC$ опирается на диаметр $CA$, следовательно, он равен $90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла в этом треугольнике:

$ \angle ADC = 90^\circ $

$ \angle ACD = 55^\circ $ (по условию)

Найдем третий угол, $\angle CAD$:

$ \angle CAD = 180^\circ - \angle ADC - \angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ $

Угол $\angle CAD$ является тем же углом, что и $\angle CAB$. Таким образом, $\angle CAB = 35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$

CBA

Аналогично рассмотрим вторую окружность, в которой $CB$ является диаметром. Точки $B$, $C$ и $D$ лежат на этой окружности. Угол $BDC$ опирается на диаметр $CB$, следовательно, он также равен $90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BDC$. Нам известны два угла в этом треугольнике:

$ \angle BDC = 90^\circ $

$ \angle BCD = 70^\circ $ (по условию)

Найдем третий угол, $\angle CBD$:

$ \angle CBD = 180^\circ - \angle BDC - \angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ $

Угол $\angle CBD$ является тем же углом, что и $\angle CBA$. Таким образом, $\angle CBA = 20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$