gdz.top
Номер 88, страница 13 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-09-080253-6
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Вариант 1. Центральные и вписанные углы - номер 88, страница 13.
№87
№88 (с. 13)
Условие 2017. №88 (с. 13)
88. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если
1) $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 78^\circ$;
2) $\angle A = 23^\circ$, $\angle B = 42^\circ$.
Условие 2021. №88 (с. 13)
88. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если
1) $\angle A = 36^\circ, \angle B = 78^\circ$;
2) $\angle A = 23^\circ, \angle B = 42^\circ$.
Решение 2021. №88 (с. 13)
Для решения этой задачи используется свойство центральных и вписанных углов окружности. Центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
- $\angle BOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $BC$, которой соответствует вписанный угол $\angle BAC$ (или $\angle A$).
- $\angle AOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AC$, которой соответствует вписанный угол $\angle ABC$ (или $\angle B$).
- $\angle AOB$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AB$, которой соответствует вписанный угол $\angle ACB$ (или $\angle C$).
Соотношение между углами зависит от типа треугольника (остроугольный или тупоугольный).
Дано: $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 78^\circ$.
Сначала найдем величину третьего угла треугольника, $\angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 36^\circ - 78^\circ = 66^\circ$.
Все углы треугольника ($36^\circ, 78^\circ, 66^\circ$) меньше $90^\circ$, следовательно, треугольник $ABC$ является остроугольным. В этом случае центр описанной окружности $O$ лежит внутри треугольника, и для нахождения центральных углов мы просто удваиваем противолежащие им вписанные углы.
$\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.
$\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 78^\circ = 156^\circ$.
$\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 66^\circ = 132^\circ$.
Проверим: сумма центральных углов вокруг точки $O$ должна быть $360^\circ$.
$72^\circ + 156^\circ + 132^\circ = 360^\circ$.
Ответ: $\angle AOB = 132^\circ$, $\angle BOC = 72^\circ$, $\angle AOC = 156^\circ$.
Дано: $\angle A = 23^\circ$, $\angle B = 42^\circ$.
Найдем величину угла $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 23^\circ - 42^\circ = 115^\circ$.
Поскольку $\angle C > 90^\circ$, треугольник $ABC$ является тупоугольным. Центр описанной окружности $O$ находится вне треугольника, по другую сторону от стороны $AB$ относительно вершины $C$.
Для центральных углов, соответствующих острым углам $\angle A$ и $\angle B$, соотношение сохраняется:
$\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 23^\circ = 46^\circ$.
$\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ$.
Для центрального угла $\angle AOB$, противолежащего тупому углу $\angle C$, вписанный угол $\angle C$ и центр $O$ лежат по разные стороны от хорды $AB$. Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $AB$, вдвое больше вписанного угла, опирающегося на эту же дугу. Угол, вписанный в большую дугу $AB$, равен $180^\circ - \angle C$. Поэтому искомый центральный угол $\angle AOB$ вычисляется так:
$\angle AOB = 2 \cdot (180^\circ - \angle C) = 2 \cdot (180^\circ - 115^\circ) = 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ$.
Проверим: в данном случае $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$.
$130^\circ = 84^\circ + 46^\circ$, что верно.
Ответ: $\angle AOB = 130^\circ$, $\angle BOC = 46^\circ$, $\angle AOC = 84^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 8 класс, для упражнения номер 88 расположенного на странице 13 к дидактическим материалам 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №88 (с. 13), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение.