Страница 13 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, составляющую $ \frac{5}{12} $ окружности?

80. Чему равна градусная мера центрального угла окружности, опирающегося на дугу, составляющую $ \frac{5}{12} $ окружности?

Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$.

По определению, градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

В условии задачи сказано, что дуга составляет $\frac{5}{12}$ от всей окружности. Чтобы найти градусную меру этой дуги, необходимо умножить полную градусную меру окружности на данную дробь.

Выполним вычисление:
$360^\circ \cdot \frac{5}{12} = \frac{360^\circ \cdot 5}{12}$

Сократим $360$ и $12$:
$\frac{360}{12} = 30$

Теперь умножим полученное значение на числитель дроби:
$30 \cdot 5 = 150^\circ$

Следовательно, градусная мера дуги и опирающегося на нее центрального угла равна $150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$

81. Найдите градусные меры двух дуг окружности, на которые её делят две точки, если градусная мера одной из дуг на $100^\circ$ больше градусной меры другой.

81. Найдите градусные меры двух дуг окружности, на которые её делят две точки, если градусная мера одной из дуг на 100° больше градусной меры другой.

Пусть градусная мера меньшей дуги равна $x$ градусов. Согласно условию задачи, градусная мера большей дуги на $100^\circ$ больше, следовательно, её мера равна $(x + 100^\circ)$.

Две точки делят окружность на две дуги, сумма градусных мер которых равна градусной мере полной окружности, то есть $360^\circ$. На основе этого мы можем составить уравнение:

$x + (x + 100) = 360$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 100 = 360$

Перенесем 100 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 360 - 100$

$2x = 260$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{260}{2}$

$x = 130$

Итак, градусная мера меньшей дуги составляет $130^\circ$.

Теперь найдем градусную меру большей дуги, прибавив $100^\circ$:

$130 + 100 = 230^\circ$

Проверим наше решение: сумма дуг $130^\circ + 230^\circ = 360^\circ$, а разница между ними $230^\circ - 130^\circ = 100^\circ$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: $130^\circ$ и $230^\circ$.

82. Найдите вписанный угол, если градусная мера дуги, на которую он опирается, равна:

1) $48^\circ$;

2) $254^\circ$;

3) $3\alpha$.

82. Найдите вписанный угол, если градусная мера дуги, на которую он опирается, равна:

1) $48^{\circ}$

2) $254^{\circ}$

3) $3\alpha$

По теореме о вписанном угле, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Если вписанный угол обозначить как $ \beta $, а дугу, на которую он опирается, как $ \gamma $, то формула будет выглядеть так:

$$ \beta = \frac{\gamma}{2} $$

Применим эту формулу для каждого из случаев.

1)

Дана градусная мера дуги $ \gamma = 48^\circ $.

Найдем вписанный угол:

$$ \beta = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ $$

Ответ: $ 24^\circ $.

2)

Дана градусная мера дуги $ \gamma = 254^\circ $.

Найдем вписанный угол:

$$ \beta = \frac{254^\circ}{2} = 127^\circ $$

Ответ: $ 127^\circ $.

3)

Дана градусная мера дуги $ \gamma = 3\alpha $.

Найдем вписанный угол:

$$ \beta = \frac{3\alpha}{2} = 1.5\alpha $$

Ответ: $ 1.5\alpha $.

83. Точки B и D лежат на окружности по одну сторону от хорды AC. Найдите угол ADC, если $\angle ABC = 42^\circ$.

83. Точки $B$ и $D$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $AC$. Найдите угол $ADC$, если $\angle ABC = 42^\circ$.

Для решения этой задачи используется свойство вписанных углов окружности. Согласно этому свойству, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанные углы $ \angle ABC $ и $ \angle ADC $ определяются хордой AC. По условию задачи, вершины этих углов, точки B и D, лежат по одну сторону от этой хорды. Это означает, что оба угла опираются на одну и ту же дугу AC.

Следовательно, можно утверждать, что эти углы равны: $ \angle ADC = \angle ABC $

Поскольку нам дано значение угла $ \angle ABC = 42^\circ $, то и угол $ \angle ADC $ имеет ту же величину. $ \angle ADC = 42^\circ $

Ответ: $ 42^\circ $.

84. Точка B окружности и её центр O лежат по разные стороны от хорды AC. Найдите:

1) угол ABC, если $ \angle AOC = 124^\circ $;

2) угол AOC, если $ \angle ABC = 94^\circ $.

84. Точка B окружности и её центр O лежат по разные стороны от хорды AC. Найдите:

1) угол ABC, если $\angle AOC = 124^\circ$;

2) угол AOC, если $\angle ABC = 94^\circ$.

Вписанный угол и центральный угол, опирающиеся на одну и ту же хорду, связаны определенными соотношениями. По условию, точка B и центр O лежат по разные стороны от хорды AC. Это означает, что центральный угол $\angle AOC$ опирается на меньшую дугу AC, а вписанный угол $\angle ABC$ опирается на большую дугу AC. Сумма градусных мер меньшей и большей дуг AC равна $360°$.

1) Найти $\angle ABC$, если $\angle AOC = 124°$.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусная мера меньшей дуги AC равна величине $\angle AOC$.

Градусная мера меньшей дуги $\cup AC = \angle AOC = 124°$.

Градусная мера большей дуги AC, на которую опирается вписанный угол $\angle ABC$, равна разности полной окружности и меньшей дуги:

Градусная мера большей дуги $\cup AC = 360° - 124° = 236°$.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом:

$\angle ABC = \frac{1}{2} \times 236° = 118°$.

Ответ: $118°$.

2) Найти $\angle AOC$, если $\angle ABC = 94°$.

Вписанный угол $\angle ABC$ опирается на большую дугу AC. Его величина равна половине градусной меры этой дуги. Следовательно, мы можем найти градусную меру большей дуги AC:

Градусная мера большей дуги $\cup AC = 2 \times \angle ABC = 2 \times 94° = 188°$.

Градусная мера меньшей дуги AC, на которую опирается центральный угол $\angle AOC$, равна разности полной окружности и большей дуги:

Градусная мера меньшей дуги $\cup AC = 360° - 188° = 172°$.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом:

$\angle AOC = 172°$.

Ответ: $172°$.

85. Точки B и D лежат на окружности по разные стороны от хорды AC. Найдите угол ADC, если $\angle ABC = 78^\circ$.

85. Точки B и D лежат на окружности по разные стороны от хорды AC. Найдите угол $ADC$, если $\angle ABC = 78^\circ$.

Поскольку точки A, B, C и D лежат на одной окружности, четырехугольник ABCD является вписанным в эту окружность.

Согласно свойству вписанного четырехугольника, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. В четырехугольнике ABCD углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются противолежащими.

Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

Из условия задачи известно, что $\angle ABC = 78^\circ$. Подставим это значение в уравнение: $78^\circ + \angle ADC = 180^\circ$

Теперь найдем величину угла $\angle ADC$:
$\angle ADC = 180^\circ - 78^\circ$
$\angle ADC = 102^\circ$

Ответ: $102^\circ$

86. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $BOC$, если:

1) $\angle A = 78^\circ$;

2) $\angle A = 128^\circ$.

86. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $BOC$, если: 1) $\angle A = 78^\circ$; 2) $\angle A = 128^\circ$.

1) Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) является вписанным углом, а угол $\angle BOC$ — соответствующим ему центральным углом, так как они оба опираются на одну и ту же дугу $BC$.
По теореме о центральном и вписанном углах, величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
Поскольку угол $\angle A = 78^{\circ}$ — острый, то центр окружности $O$ и вершина $A$ лежат по одну сторону от хорды $BC$. В этом случае формула применяется напрямую:
$\angle BOC = 2 \cdot \angle A$
$\angle BOC = 2 \cdot 78^{\circ} = 156^{\circ}$
Ответ: $156^{\circ}$

2) В этом случае вписанный угол $\angle A = 128^{\circ}$ — тупой. Это означает, что центр окружности $O$ и вершина $A$ лежат по разные стороны от хорды $BC$. Вписанный угол $\angle A$ опирается на большую дугу $BC$. Искомый угол $\angle BOC$ — это центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $BC$.
Можно рассмотреть другую точку $D$ на окружности, которая лежит на меньшей дуге $BC$. Тогда четырехугольник $ABDC$ будет вписан в окружность. По свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$.
$\angle BAC + \angle BDC = 180^{\circ}$
Отсюда можно найти угол $\angle BDC$, который опирается на меньшую дугу $BC$:
$\angle BDC = 180^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$
Теперь и вписанный угол $\angle BDC$, и центральный угол $\angle BOC$ опираются на одну и ту же (меньшую) дугу $BC$. Применяем теорему о центральном и вписанном углах:
$\angle BOC = 2 \cdot \angle BDC$
$\angle BOC = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$
Ответ: $104^{\circ}$

87. Точки A, B и C делят окружность на три дуги так, что $\cup AB : \cup BC : \cup AC = 3 : 5 : 7$. Найдите углы треугольника ABC.

87. Точки A, B и C делят окружность на три дуги так, что $\overset{\frown}{AB} : \overset{\frown}{BC} : \overset{\frown}{AC} = 3 : 5 : 7$. Найдите углы треугольника ABC.

Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. Точки A, B и C делят окружность на три дуги, градусные меры которых (обозначим как ◡AB, ◡BC, ◡AC) находятся в соотношении $3:5:7$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны:

• ◡$AB = 3x$
• ◡$BC = 5x$
• ◡$AC = 7x$

Сумма градусных мер этих дуг равна градусной мере всей окружности:

◡$AB$ + ◡$BC$ + ◡$AC = 360^\circ$

$3x + 5x + 7x = 360^\circ$

$15x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги, подставив значение $x$:

• ◡$AB = 3 \cdot 24^\circ = 72^\circ$
• ◡$BC = 5 \cdot 24^\circ = 120^\circ$
• ◡$AC = 7 \cdot 24^\circ = 168^\circ$

Углы треугольника $ABC$ являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

• Угол $\angle C$ (или $\angle BCA$) опирается на дугу $AB$.
• Угол $\angle A$ (или $\angle CAB$) опирается на дугу $BC$.
• Угол $\angle B$ (или $\angle ABC$) опирается на дугу $AC$.

Вычислим величины углов треугольника:

$\angle C = \frac{1}{2} \cdot$ ◡$AB = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$

$\angle A = \frac{1}{2} \cdot$ ◡$BC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$

$\angle B = \frac{1}{2} \cdot$ ◡$AC = \frac{1}{2} \cdot 168^\circ = 84^\circ$

Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle B + \angle C = 60^\circ + 84^\circ + 36^\circ = 180^\circ$

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $36^\circ, 60^\circ, 84^\circ$.

88. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если

1) $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 78^\circ$;

2) $\angle A = 23^\circ$, $\angle B = 42^\circ$.

88. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если

1) $\angle A = 36^\circ, \angle B = 78^\circ$;

2) $\angle A = 23^\circ, \angle B = 42^\circ$.

Для решения этой задачи используется свойство центральных и вписанных углов окружности. Центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

• $\angle BOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $BC$, которой соответствует вписанный угол $\angle BAC$ (или $\angle A$).
• $\angle AOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AC$, которой соответствует вписанный угол $\angle ABC$ (или $\angle B$).
• $\angle AOB$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AB$, которой соответствует вписанный угол $\angle ACB$ (или $\angle C$).

Соотношение между углами зависит от типа треугольника (остроугольный или тупоугольный).

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если основание этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $192^\circ$.

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если основание этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $192^\circ$.

Пусть равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ вписан в окружность. Это означает, что его вершины $A, B, C$ лежат на окружности. Угол $\angle B$ является углом при вершине, противолежащим основанию, а углы $\angle A$ и $\angle C$ — равными углами при основании.

По свойству вписанного угла, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол при вершине $\angle B$ опирается на дугу $AC$, которую стягивает основание треугольника.

По условию задачи, градусная мера дуги, стягиваемой основанием $AC$, равна $192^\circ$. Следовательно, мы можем найти величину угла $\angle B$:

$\angle B = \frac{1}{2} \cdot \cup AC = \frac{192^\circ}{2} = 96^\circ$.

Так как треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны:

$\angle A = \angle C$.

Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Используя это свойство, мы можем найти углы при основании:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Так как $\angle A = \angle C$, подставим известные значения:

$\angle A + 96^\circ + \angle A = 180^\circ$

$2\angle A = 180^\circ - 96^\circ$

$2\angle A = 84^\circ$

$\angle A = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ$.

Следовательно, $\angle C = 42^\circ$.

Таким образом, углы данного равнобедренного треугольника равны $42^\circ$, $42^\circ$ и $96^\circ$.

Ответ: $42^\circ, 42^\circ, 96^\circ$.

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AC = BC$). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle AOB = 128^\circ$. Сколько решений имеет задача?

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AC = BC$). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle AOB = 128^\circ$. Сколько решений имеет задача?

Поскольку точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, то отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ равны как радиусы окружности ($R$). Треугольник $AOB$ является равнобедренным с $OA = OB = R$.

Угол $\angle AOB$ — это центральный угол, опирающийся на дугу $AB$. Угол $\angle ACB$ — вписанный угол, который также опирается на дугу $AB$. В зависимости от расположения вершины $C$ на окружности, задача имеет два решения.

Случай 1. Вершина C и центр окружности O лежат по одну сторону от хорды AB (треугольник ABC остроугольный).

В этом случае вписанный угол $\angle ACB$ опирается на меньшую дугу $AB$. Величина этой дуги равна величине центрального угла, который на нее опирается, то есть $\smile AB = \angle AOB = 128^\circ$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \smile AB = \frac{1}{2} \cdot 128^\circ = 64^\circ$.

По условию треугольник $ABC$ равнобедренный, и $AC = BC$. Следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAB + 64^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAB = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

$\angle CAB = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$

Значит, $\angle CBA = 58^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $58^\circ, 58^\circ, 64^\circ$.

Случай 2. Вершина C и центр окружности O лежат по разные стороны от хорды AB (треугольник ABC тупоугольный).

В этом случае вписанный угол $\angle ACB$ опирается на большую дугу $AB$. Величина большей дуги $AB$ равна $360^\circ$ минус величина меньшей дуги:

$\smile AB_{большая} = 360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 128^\circ = 232^\circ$.

Вписанный угол $\angle ACB$ равен половине дуги, на которую он опирается:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \smile AB_{большая} = \frac{1}{2} \cdot 232^\circ = 116^\circ$.

Треугольник $ABC$ по-прежнему равнобедренный с основанием $AB$ ($\angle CAB = \angle CBA$).

Найдем углы при основании из суммы углов треугольника:

$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAB + 116^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAB = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$

$\angle CAB = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$

Значит, $\angle CBA = 32^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $32^\circ, 32^\circ, 116^\circ$.

Таким образом, задача имеет два решения.

91. Точки $C$ и $D$ окружности лежат по одну сторону от диаметра $AB$ (рис. 10). Найдите угол $DCB$, если $ \angle ACD = 41^\circ $.

Рис. 10

91. Точки C и D окружности лежат по одну сторону от диаметра AB (рис. 10). Найдите угол $DCB$, если $\angle ACD = 41^\circ$.

Рис. 10

Угол $ACB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AB$. Согласно свойству углов, вписанных в окружность, угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Следовательно, величина угла $ACB$ составляет $90^\circ$.

$\angle ACB = 90^\circ$

Из рисунка видно, что угол $ACB$ состоит из двух смежных углов: $ACD$ и $DCB$. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$

По условию задачи нам известно, что $\angle ACD = 41^\circ$. Теперь мы можем подставить известные значения в формулу, чтобы найти искомый угол $DCB$:

$90^\circ = 41^\circ + \angle DCB$

Выразим $\angle DCB$ из этого уравнения:

$\angle DCB = 90^\circ - 41^\circ$

$\angle DCB = 49^\circ$

Ответ: $49^\circ$.