Страница 8 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 7) пересекаются в точке O, $ \angle AOD = 70^\circ $. Найдите угол OCD.

Рис. 7

32. Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 7) пересекаются в точке O, $\angle AOD = 70^\circ$. Найдите $\angle OCD$.

Рис. 7

По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки, на которые точка пересечения делит диагонали, равны между собой: $AO = OC = BO = OD$.

Рассмотрим треугольник $OCD$. Так как $OC = OD$, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle OCD = \angle ODC$.

Углы $\angle AOD$ и $\angle DOC$ являются смежными, поскольку они образуются при пересечении двух прямых (диагоналей) и их стороны $OA$ и $OC$ лежат на одной прямой $AC$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$.

Зная, что по условию $\angle AOD = 70^\circ$, мы можем найти величину угла $\angle DOC$:

$\angle DOC = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Теперь рассмотрим сумму углов в треугольнике $OCD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle OCD + \angle ODC + \angle DOC = 180^\circ$

Так как $\angle OCD = \angle ODC$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$2 \cdot \angle OCD + \angle DOC = 180^\circ$

Подставим найденное значение угла $\angle DOC$:

$2 \cdot \angle OCD + 110^\circ = 180^\circ$

Теперь решим уравнение относительно $\angle OCD$:

$2 \cdot \angle OCD = 180^\circ - 110^\circ$

$2 \cdot \angle OCD = 70^\circ$

$\angle OCD = \frac{70^\circ}{2}$

$\angle OCD = 35^\circ$

Ответ: $35^\circ$.

33. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ABD$, если он на $30^\circ$ больше угла $COD$.

33. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол ABD, если он на $30^\circ$ больше угла COD.

Пусть $ABCD$ — заданный прямоугольник. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OAB = \angle OBA$. Заметим, что угол $\angle OBA$ это и есть искомый угол $\angle ABD$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle AOB = \angle COD$.

Сумма углов в треугольнике $AOB$ равна $180^\circ$:$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$

Заменим в этом равенстве $\angle OAB$ на равный ему угол $\angle OBA$, а угол $\angle AOB$ на равный ему угол $\angle COD$:$\angle OBA + \angle OBA + \angle COD = 180^\circ$$2 \cdot \angle OBA + \angle COD = 180^\circ$

Так как $\angle OBA$ это то же самое, что и $\angle ABD$, мы получаем первое уравнение:$2 \cdot \angle ABD + \angle COD = 180^\circ$

По условию задачи, угол $\angle ABD$ на $30^\circ$ больше угла $\angle COD$. Это дает нам второе уравнение:$\angle ABD = \angle COD + 30^\circ$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим $\angle COD$ из второго уравнения:$\angle COD = \angle ABD - 30^\circ$

Подставим это выражение в первое уравнение:$2 \cdot \angle ABD + (\angle ABD - 30^\circ) = 180^\circ$$3 \cdot \angle ABD - 30^\circ = 180^\circ$$3 \cdot \angle ABD = 180^\circ + 30^\circ$$3 \cdot \angle ABD = 210^\circ$$\angle ABD = \frac{210^\circ}{3}$$\angle ABD = 70^\circ$

Ответ: $70^\circ$

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 8). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите отрезок $BC$, если $AC = 18$ см, $\angle ABD = 30^{\circ}$.

Рис. 8

(изображение круга с центром O, диаметрами AC и BD, и точками A, B, C, D на окружности)

34. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AC$ и $BD$ (рис. 8). Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником. Найдите отрезок $BC$, если $AC = 18 \text{ см}$, $\angle ABD = 30^\circ$.

Рис. 8

Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. По условию, $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$.

1. Так как $AC$ и $BD$ являются диаметрами, они пересекаются в центре окружности $O$ и делятся этой точкой пополам. То есть $AO = OC = BO = OD = R$, где $R$ — радиус окружности.

2. Четырёхугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

3. Диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами одной и той же окружности, поэтому их длины равны: $AC = BD = 2R$.

4. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником, что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником, что и требовалось доказать.

Найдите отрезок BC, если AC = 18 см, ∠ABD = 30°.

1. Из доказанного выше мы знаем, что $ABCD$ — прямоугольник. Это означает, что все его углы прямые, в частности $\angle ABC = 90^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB$. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OAB = \angle OBA$. Так как по условию $\angle ABD = 30^\circ$, то и $\angle OBA = 30^\circ$, а следовательно, $\angle OAB = 30^\circ$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Он является прямоугольным, так как $\angle ABC = 90^\circ$. Угол $\angle CAB$ этого треугольника совпадает с углом $\angle OAB$ и равен $30^\circ$.

5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит напротив угла $\angle CAB = 30^\circ$, а гипотенузой является диагональ $AC$.

6. По условию $AC = 18$ см. Следовательно, $BC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Биссектриса угла $AOD$ пересекает сторону $AD$ в её середине. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Биссектриса угла $AOD$ пересекает сторону $AD$ в её середине. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $K$ — середина стороны $AD$. По условию, биссектриса угла $AOD$ пересекает сторону $AD$ в её середине, то есть в точке $K$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. В этом треугольнике отрезок $OK$ является одновременно и биссектрисой (по условию), и медианой (так как $K$ — середина $AD$).

Согласно свойству треугольника, если медиана, проведенная к одной из сторон, совпадает с биссектрисой угла, противолежащего этой стороне, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOD$ является равнобедренным, а стороны, прилежащие к вершине $O$, равны: $AO = OD$.

По свойству диагоналей параллелограмма, они в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Из доказанного нами равенства $AO = OD$ и свойства диагоналей следует, что половины диагоналей равны между собой. Тогда и целые диагонали равны:$AC = 2 \cdot AO$$BD = 2 \cdot OD$Так как $AO = OD$, то $AC = BD$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Таким образом, параллелограмм $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны на 5 см меньше, чем расстояние до меньшей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 44 см.

36. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его большей стороны на 5 см меньше, чем расстояние до меньшей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 44 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая сторона.

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии прямоугольника. Расстояние от этой точки до большей стороны ($a$) равно половине длины меньшей стороны, то есть $\frac{b}{2}$. Расстояние до меньшей стороны ($b$) равно половине длины большей стороны, то есть $\frac{a}{2}$.

Согласно условию, расстояние до большей стороны на 5 см меньше, чем расстояние до меньшей. На основе этого составим первое уравнение:

$\frac{b}{2} = \frac{a}{2} - 5$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$b = a - 10$, что эквивалентно $a - b = 10$.

Периметр прямоугольника $P$ равен 44 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Составим второе уравнение:

$2(a + b) = 44$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a + b = 22$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a - b = 10 \\ a + b = 22 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти $a$:

$(a - b) + (a + b) = 10 + 22$

$2a = 32$

$a = \frac{32}{2} = 16$

Мы нашли длину большей стороны: $a = 16$ см.

Теперь подставим найденное значение $a$ в уравнение $a + b = 22$, чтобы найти $b$:

$16 + b = 22$

$b = 22 - 16$

$b = 6$

Длина меньшей стороны: $b = 6$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 6 см.

Ответ: 16 см и 6 см.

37. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его двух соседних сторон равна 27 см. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $4:5$.

37. Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его двух соседних сторон равна 27 см. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $4 : 5$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Точка пересечения диагоналей прямоугольника является его центром симметрии. Расстояние от этой точки до одной из сторон равно половине длины перпендикулярной ей стороны.

Таким образом, расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны $a$ равно $\frac{b}{2}$, а до стороны $b$ — $\frac{a}{2}$.

По условию задачи, сумма этих расстояний до двух соседних сторон равна 27 см:

$\frac{a}{2} + \frac{b}{2} = 27$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$a + b = 54$

Это означает, что полупериметр прямоугольника равен 54 см.

Также известно, что стороны прямоугольника относятся как 4:5. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда стороны прямоугольника можно записать как:

$a = 4x$

$b = 5x$

Подставим эти выражения в уравнение для полупериметра:

$4x + 5x = 54$

$9x = 54$

$x = \frac{54}{9}$

$x = 6$

Теперь найдем длины сторон прямоугольника:

$a = 4x = 4 \cdot 6 = 24$ см

$b = 5x = 5 \cdot 6 = 30$ см

Ответ: стороны прямоугольника равны 24 см и 30 см.

38. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, на 6 см меньше гипотенузы. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

38. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, на 6 см меньше гипотенузы. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

Пусть $m$ — длина медианы, проведённой к гипотенузе, а $c$ — длина гипотенузы прямоугольного треугольника.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, её длина равна половине длины гипотенузы. Это можно записать в виде формулы:$m = \frac{c}{2}$

Из условия задачи известно, что медиана на 6 см меньше гипотенузы. Это можно выразить уравнением:$m = c - 6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$ \begin{cases} m = \frac{c}{2} \\ m = c - 6 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:$\frac{c}{2} = c - 6$

Решим полученное уравнение относительно $c$:$c - \frac{c}{2} = 6$$\frac{2c - c}{2} = 6$$\frac{c}{2} = 6$$c = 12$

Таким образом, длина гипотенузы равна 12 см. Теперь найдём длину медианы, подставив значение $c$ в первую формулу:$m = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.