Страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 14 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 3 : 1, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 14 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 3 : 1, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Средняя линия $m$ трапеции равна 14 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
$m = \frac{AD + BC}{2}$

Подставим известное значение средней линии:
$14 = \frac{AD + BC}{2}$
$AD + BC = 14 \cdot 2 = 28$ см.

Проведём высоту $CH$ из вершины тупого угла $C$ к большему основанию $AD$. Так как трапеция прямоугольная, то $AB \perp AD$ и $CH \perp AD$, следовательно, четырёхугольник $ABCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $AH = BC$.

По условию, высота $CH$ делит основание $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$ в отношении $3:1$, считая от вершины прямого угла $A$. Это означает, что $AH : HD = 3 : 1$.

Пусть длина отрезка $HD$ равна $x$ см. Тогда длина отрезка $AH$ равна $3x$ см.

Теперь выразим основания трапеции через $x$:
Меньшее основание: $BC = AH = 3x$.
Большее основание: $AD = AH + HD = 3x + x = 4x$.

Подставим эти выражения в ранее полученное равенство для суммы оснований:
$AD + BC = 28$
$4x + 3x = 28$
$7x = 28$
$x = \frac{28}{7} = 4$ см.

Теперь найдём длины оснований:
Меньшее основание: $BC = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.
Большее основание: $AD = 4x = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Ответ: основания трапеции равны 12 см и 16 см.

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с основанием угол $32^\circ$. Найдите углы трапеции.

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с основанием угол $32^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC и AD — основания, причём BC — меньшее основание. AB и CD — боковые стороны.

По условию задачи трапеция ABCD — равнобокая, следовательно, её боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основаниях также равны ($\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$).

Также по условию боковая сторона равна меньшему основанию: $AB = BC$. Из этих двух условий следует, что $AB = BC = CD$.

Диагональ AC образует с основанием AD угол 32°, то есть $\angle CAD = 32^\circ$.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как $AB = BC$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании AC равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а AC — секущая, то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны.

Так как $\angle CAD = 32^\circ$, то и $\angle BCA = 32^\circ$.

Из равнобедренного треугольника ABC мы знаем, что $\angle BAC = \angle BCA$, следовательно, $\angle BAC = 32^\circ$.

Теперь найдём полный угол трапеции при большем основании A. Он является суммой двух углов:

$\angle A = \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 32^\circ + 32^\circ = 64^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, угол при другом конце большего основания D равен углу A:

$\angle D = \angle A = 64^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Используем это свойство для нахождения угла B:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

По свойству равнобокой трапеции, угол C равен углу B:

$\angle C = \angle B = 116^\circ$.

Итак, углы трапеции равны $64^\circ$, $116^\circ$, $116^\circ$, $64^\circ$.

Ответ: $64^\circ$, $116^\circ$, $116^\circ$, $64^\circ$.

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне, а острый угол, противолежащий этой диагонали, равен $52^{\circ}$. Найдите остальные углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне, а острый угол, противолежащий этой диагонали, равен $52^\circ$. Найдите остальные углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), и $BC$ – меньшее основание. Боковыми сторонами являются $AB$ и $CD$.

Из условия задачи нам известно:

1. Одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне.
2. Острый угол, противолежащий этой диагонали, равен $52^\circ$.
3. Меньшее основание равно второй боковой стороне.

Рассмотрим один из возможных случаев, который соответствует условию. Пусть диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$.

$\angle ACD = 90^\circ$

Углы, противолежащие диагонали $AC$, это $\angle B$ и $\angle D$. По условию, острый угол из них равен $52^\circ$. Предположим, что $\angle D = 52^\circ$. Это острый угол, что соответствует условию. (Позже мы проверим, что угол $\angle B$ окажется тупым, что подтвердит наш выбор).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол $\angle CAD$:

$\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle ADC = 180^\circ - 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$

Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими углами при секущей $AC$. Следовательно, они равны:

$\angle BCA = \angle CAD = 38^\circ$

По условию, меньшее основание ($BC$) равно второй боковой стороне. Так как перпендикулярность связана со стороной $CD$, второй боковой стороной является $AB$. Таким образом, $BC = AB$.

Равенство сторон $BC$ и $AB$ означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = 38^\circ$

Теперь мы можем найти все углы трапеции:

Угол A:

$\angle A = \angle DAB = \angle BAC + \angle CAD = 38^\circ + 38^\circ = 76^\circ$

Угол D:

$\angle D = 52^\circ$ (по нашему предположению из условия).

Угол C:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Для стороны $CD$ имеем:

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$

Также можно найти этот угол как сумму его частей: $\angle C = \angle BCA + \angle ACD = 38^\circ + 90^\circ = 128^\circ$.

Угол B:

Для боковой стороны $AB$ также имеем:

$\angle B + \angle A = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$

Итак, углы трапеции равны $76^\circ, 104^\circ, 128^\circ, 52^\circ$. Угол $52^\circ$ дан в условии. Остальные углы – $76^\circ, 104^\circ, 128^\circ$.

Проверим условие об остром угле: противолежащие диагонали $AC$ углы – это $\angle D = 52^\circ$ (острый) и $\angle B = 104^\circ$ (тупой). Условие, что острый угол равен $52^\circ$, выполняется, и он единственный острый из двух противолежащих.

Стоит отметить, что существует и другая конфигурация, удовлетворяющая условию (диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$, и $\angle A = 52^\circ$), которая приводит к тому же набору углов для трапеции: $52^\circ, 76^\circ, 104^\circ, 128^\circ$. Таким образом, ответ на вопрос о значениях углов является однозначным.

Ответ: Остальные углы трапеции равны $76^\circ, 104^\circ$ и $128^\circ$.

73. В равнобокой трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно 16 см, $\angle ABC = 120^\circ$. Через вершину $C$ трапеции проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая сторону $AD$ в точке $M$. Найдите периметр трапеции, если $MD = 12$ см.

73. В равнобокой трапеции ABCD меньшее основание BC равно 16 см, $\angle ABC = 120^{\circ}$. Через вершину C трапеции проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AD в точке M. Найдите периметр трапеции, если MD = 12 см.

По условию, $ABCD$ — трапеция, следовательно, её основания параллельны: $BC \parallel AD$. Через вершину $C$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает $AD$ в точке $M$. Таким образом, в четырехугольнике $ABCM$ противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel AM$ и $AB \parallel CM$), а значит, $ABCM$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AM = BC$ и $AB = CM$. Из условия известно, что $BC = 16$ см, следовательно, $AM = 16$ см.

Длина большего основания $AD$ состоит из двух отрезков: $AM$ и $MD$. $AD = AM + MD = 16 + 12 = 28$ см.

Трапеция $ABCD$ является равнобокой, поэтому её боковые стороны равны: $AB = CD$. Из свойств равнобокой трапеции также следует, что сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle BAD$: $\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Углы при основании равнобокой трапеции равны, поэтому $\angle CDA = \angle BAD = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CMD$. Ранее мы установили, что $AB = CM$ (из параллелограмма $ABCM$) и $AB = CD$ (так как трапеция равнобокая). Отсюда следует, что $CD = CM$. Значит, треугольник $CMD$ является равнобедренным с основанием $MD$.

В треугольнике $CMD$ нам известен угол $\angle CDM$, который совпадает с углом $\angle CDA = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, но в $\triangle CMD$ равными сторонами являются $CD$ и $CM$, следовательно, углы, противолежащие им, равны: $\angle CMD = \angle CDM$. Таким образом, $\angle CMD = \angle CDM = 60^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle MCD = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$. Поскольку все углы в треугольнике $CMD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны: $CD = CM = MD$. Так как по условию $MD = 12$ см, то и $CD = 12$ см.

Теперь мы знаем длины всех сторон трапеции:

• Меньшее основание $BC = 16$ см.
• Большее основание $AD = 28$ см.
• Боковая сторона $CD = 12$ см.
• Боковая сторона $AB = CD = 12$ см.

Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 12 + 16 + 12 + 28 = 68$ см.

Ответ: 68 см.

74. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 15 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

74. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 15 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию, большее основание $AD = 15$ см, а меньшее основание $BC = 9$ см.

Проведём высоту BH из вершины тупого угла B на большее основание AD. Высота BH делит основание AD на два отрезка: AH и HD. Нам нужно найти их длины.

Для наглядности проведём также вторую высоту CK из вершины C на то же основание AD. В равнобокой трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки. Это следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ (по гипотенузе $AB = CD$ и катету $BH = CK$). Следовательно, $AH = DK$.

Четырёхугольник HBCK является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ (а значит $BC \parallel HK$) и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$. Поэтому $HK = BC = 9$ см.

Большее основание AD состоит из трёх частей: $AD = AH + HK + DK$.

Так как $AH = DK$, мы можем записать выражение для длины большего основания как:$AD = AH + HK + AH = 2 \cdot AH + HK$

Теперь подставим известные значения в формулу:$15 = 2 \cdot AH + 9$

Решим полученное уравнение, чтобы найти длину отрезка AH:$2 \cdot AH = 15 - 9$$2 \cdot AH = 6$$AH = \frac{6}{2} = 3$ см.

Мы нашли длину одного из отрезков — он равен 3 см. Теперь найдём длину второго отрезка, HD.$HD = AD - AH$$HD = 15 - 3 = 12$ см.

Также можно найти HD, сложив отрезки HK и DK:$HD = HK + DK = 9 + 3 = 12$ см.

Таким образом, высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 3 см и 12 см.
Ответ: 3 см и 12 см.

75. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 5 см. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен 2 см. Найдите среднюю линию трапеции.

75. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 5 см. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен 2 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC и AD — основания. По условию, меньшее основание $BC = 5$ см.

Проведем высоту BH из вершины тупого угла B на большее основание AD. Эта высота делит основание AD на два отрезка: AH и HD.

В равнобокой трапеции высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. Если провести вторую высоту CK из вершины C, то $AH = KD$. Отрезок HK, заключенный между высотами, равен меньшему основанию: $HK = BC = 5$ см.

Большее основание AD состоит из трех частей: $AD = AH + HK + KD$. Так как $AH = KD$, то $AD = 2 \cdot AH + HK = 2 \cdot AH + BC$.

Высота BH делит AD на отрезки AH и HD, где $HD = HK + KD = BC + AH = 5 + AH$. Так как $AH$ — это длина отрезка, то $AH > 0$, следовательно, $HD > 5$ см. По условию, один из отрезков равен 2 см. Очевидно, что это меньший отрезок, то есть $AH = 2$ см.

Теперь мы можем найти длину большего основания AD: $AD = 2 \cdot AH + BC = 2 \cdot 2 + 5 = 4 + 5 = 9$ см.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, вычисляется по формуле как полусумма оснований: $m = \frac{BC + AD}{2}$

Подставим найденные значения длин оснований в формулу: $m = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

76. В равнобокой трапеции острый угол равен 60°, а боковая сторона — 16 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 38 см.

76. В равнобокой трапеции острый угол равен $60^\circ$, а боковая сторона – 16 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 38 см.

Пусть дана равнобокая трапеция. Обозначим её основания как $a$ и $b$ (где $b$ — большее основание), а боковую сторону как $c$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
1. Острый угол при основании равен $60^\circ$.
2. Длина боковой стороны $c = 16$ см.
3. Сумма оснований $a + b = 38$ см.

Решение

Для нахождения оснований трапеции воспользуемся её свойствами. Проведем из вершины меньшего основания высоту $h$ к большему основанию. Эта высота отсекает от трапеции прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является боковая сторона трапеции $c$, а одним из катетов — отрезок $x$, который является частью большего основания.

В данном прямоугольном треугольнике катет $x$ прилежит к острому углу в $60^\circ$. Связь между гипотенузой, катетом и прилежащим к нему углом выражается через косинус:
$\cos(60^\circ) = \frac{x}{c}$

Отсюда мы можем выразить и найти длину отрезка $x$:
$x = c \cdot \cos(60^\circ)$
Поскольку значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, а $c = 16$ см, получаем:
$x = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

В равнобокой трапеции, если провести обе высоты из вершин меньшего основания, они отсекут на большем основании два равных отрезка $x$. Большее основание $b$ будет состоять из меньшего основания $a$ и двух таких отрезков: $b = a + 2x$.
Следовательно, разность оснований равна $b - a = 2x$.

Подставив найденное значение $x = 8$ см, мы получаем второе уравнение, связывающее основания:
$b - a = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
1) $a + b = 38$
2) $b - a = 16$

Для решения системы сложим оба уравнения:
$(a + b) + (b - a) = 38 + 16$
$2b = 54$
$b = \frac{54}{2} = 27$ см.

Мы нашли длину большего основания. Теперь найдем длину меньшего основания, подставив значение $b$ в первое уравнение:
$a + 27 = 38$
$a = 38 - 27 = 11$ см.

Таким образом, основания трапеции равны 11 см и 27 см.

Ответ: 11 см и 27 см.

77. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 16 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

77. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 16 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи, длины оснований равны $AD = 16$ см и $BC = 10$ см. Диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны друг другу. Пусть точка их пересечения — $O$.

В равнобокой трапеции треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, являются равнобедренными. То есть, треугольник $\triangle BOC$ (с основанием $BC$) и треугольник $\triangle AOD$ (с основанием $AD$) — равнобедренные, так как в равнобокой трапеции отрезки диагоналей от вершины до точки пересечения попарно равны: $OB = OC$ и $OA = OD$.

Так как по условию диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), то углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ прямые ($\angle BOC = \angle AOD = 90^\circ$). Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведём высоту трапеции $h$ через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота $h$ будет состоять из двух отрезков: высоты $h_1$ треугольника $\triangle BOC$ и высоты $h_2$ треугольника $\triangle AOD$, проведённых из точки $O$ к основаниям $BC$ и $AD$ соответственно.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, также является медианой и равна половине длины гипотенузы.

Для $\triangle BOC$, гипотенузой является основание $BC$. Высота $h_1$ равна: $h_1 = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Для $\triangle AOD$, гипотенузой является основание $AD$. Высота $h_2$ равна: $h_2 = \frac{AD}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Полная высота трапеции $h$ равна сумме этих двух высот: $h = h_1 + h_2 = 5 + 8 = 13$ см.

Ответ: 13 см.

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 6 см и 14 см. Через точку $F$ — середину боковой стороны $AB$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $K$ такой, что $AK = 4 \text{ см}$. Найдите сторону $CD$, если $FK = 7 \text{ см}$.

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 6 см и 14 см. Через точку $F$ — середину боковой стороны $AB$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $K$ такой, что $AK = 4$ см. Найдите сторону $CD$, если $FK = 7$ см.

Дано: трапеция $ABCD$, основания $BC$ и $AD$. $BC = 6$ см, $AD = 14$ см. $F$ — середина боковой стороны $AB$, то есть $AF = FB$. Через точку $F$ проведена прямая, которая пересекает основание $AD$ в точке $K$ такой, что $AK = 4$ см. Длина отрезка $FK = 7$ см. Требуется найти длину стороны $CD$.

Решение:

1. Выполним дополнительное построение. Продлим прямую $FK$ за точку $F$ до пересечения с прямой, содержащей основание $BC$. Обозначим точку пересечения буквой $M$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle AFK$ и $\triangle BFM$.

• $AF = FB$ по условию, так как $F$ — середина $AB$.
• $\angle AFK = \angle BFM$ как вертикальные углы.
• Поскольку $BC \parallel AD$ (как основания трапеции), то $BM \parallel AK$. Прямая $MK$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle FKA = \angle FMB$.

Таким образом, треугольники $\triangle AFK$ и $\triangle BFM$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, если считать сторону $AB$ и углы при ней, но здесь удобнее по стороне и двум углам - AAS: $\angle FKA = \angle FMB$, $\angle AFK = \angle BFM$ и сторона $AF = FB$. В российской терминологии это "по стороне и двум углам", хотя один из них не прилегает к стороне, но это эквивалентно). Строго говоря, по стороне и двум углам (AAS): сторона $AF$ равна стороне $FB$, угол $\angle FKA$ равен углу $\angle FMB$, и угол $\angle AFK$ равен углу $\angle BFM$. Следовательно, $\triangle AFK \cong \triangle BFM$.

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

• $BM = AK = 4$ см.
• $FM = FK = 7$ см.

4. Рассмотрим четырехугольник $MCKD$. Его стороны $MC$ и $KD$ лежат на прямых, содержащих основания трапеции, следовательно, $MC \parallel KD$. Найдем длины этих сторон:

• Длина стороны $MC$ равна сумме длин отрезков $MB$ и $BC$: $MC = MB + BC = 4 + 6 = 10$ см.
• Длина стороны $KD$ равна разности длин отрезков $AD$ и $AK$: $KD = AD - AK = 14 - 4 = 10$ см.

5. Мы получили, что в четырехугольнике $MCKD$ две противоположные стороны $MC$ и $KD$ параллельны и равны ($MC \parallel KD$ и $MC = KD = 10$ см). По признаку параллелограмма, четырехугольник $MCKD$ является параллелограммом.

6. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $CD = MK$. Длина отрезка $MK$ равна сумме длин отрезков $MF$ и $FK$: $MK = MF + FK = 7 + 7 = 14$ см.

Таким образом, длина стороны $CD$ равна 14 см.

Ответ: 14 см.

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и диагонали.

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и диагонали.

Для построения трапеции по заданным двум основаниям $a$ и $b$, высоте $h$ и диагонали $d$ необходимо выполнить следующие шаги, основанные на построении вспомогательного прямоугольного треугольника.

Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD=a$ и $BC=b$. Пусть высота трапеции равна $h$, а одна из диагоналей, например $AC$, равна $d$. Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ на прямую, содержащую основание $AD$. Тогда $CH$ является высотой трапеции, то есть $CH=h$. В полученном прямоугольном треугольнике $ACH$ катет $CH$ равен высоте $h$, а гипотенуза $AC$ — диагонали $d$. Этот треугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если выполняется условие $d \ge h$. Построив этот треугольник, мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой, на которой лежит основание $AD$. После этого можно будет достроить трапецию до полного вида.

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $H$.
2. Восставим в точке $H$ перпендикуляр $m$ к прямой $l$.
3. На перпендикуляре $m$ отложим отрезок $CH$, равный по длине заданной высоте $h$.
4. Из точки $C$ как из центра проведем дугу окружности радиусом, равным длине диагонали $d$. Точку пересечения этой дуги с прямой $l$ обозначим как $A$. (Если $d < h$, дуга не пересечет прямую, и построение невозможно. Если $d=h$, точка $A$ совпадет с $H$).
5. Теперь на прямой $l$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный длине основания $a$. Вершина $D$ найдена.
6. Через точку $C$ проведем прямую $n$, параллельную прямой $l$.
7. На прямой $n$ от точки $C$ отложим отрезок $BC$, равный длине основания $b$. Вершина $B$ найдена.
8. Последовательно соединим точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• $ABCD$ — трапеция, так как сторона $BC$ лежит на прямой $n$, а сторона $AD$ — на прямой $l$, причем $n \parallel l$ по построению.
• Основания трапеции равны заданным длинам: $AD = a$ и $BC = b$ по построению.
• Высота трапеции равна расстоянию между параллельными прямыми $l$ и $n$, которое по построению равно длине перпендикуляра $CH = h$.
• Диагональ $AC$ по построению равна $d$, так как она является радиусом дуги, проведенной на шаге 4.

Все условия выполнены, следовательно, построенная фигура является искомой трапецией. Стоит отметить, что в зависимости от того, в какую сторону откладывать отрезки $AD$ и $BC$, можно получить до двух различных (неконгруэнтных) решений.

Ответ: Алгоритм построения трапеции, его анализ и доказательство корректности представлены выше.