Номер 78, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 6 см и 14 см. Через точку $F$ — середину боковой стороны $AB$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $K$ такой, что $AK = 4 \text{ см}$. Найдите сторону $CD$, если $FK = 7 \text{ см}$.

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 6 см и 14 см. Через точку $F$ — середину боковой стороны $AB$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $K$ такой, что $AK = 4$ см. Найдите сторону $CD$, если $FK = 7$ см.

Дано: трапеция $ABCD$, основания $BC$ и $AD$. $BC = 6$ см, $AD = 14$ см. $F$ — середина боковой стороны $AB$, то есть $AF = FB$. Через точку $F$ проведена прямая, которая пересекает основание $AD$ в точке $K$ такой, что $AK = 4$ см. Длина отрезка $FK = 7$ см. Требуется найти длину стороны $CD$.

Решение:

1. Выполним дополнительное построение. Продлим прямую $FK$ за точку $F$ до пересечения с прямой, содержащей основание $BC$. Обозначим точку пересечения буквой $M$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle AFK$ и $\triangle BFM$.

• $AF = FB$ по условию, так как $F$ — середина $AB$.
• $\angle AFK = \angle BFM$ как вертикальные углы.
• Поскольку $BC \parallel AD$ (как основания трапеции), то $BM \parallel AK$. Прямая $MK$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle FKA = \angle FMB$.

Таким образом, треугольники $\triangle AFK$ и $\triangle BFM$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, если считать сторону $AB$ и углы при ней, но здесь удобнее по стороне и двум углам - AAS: $\angle FKA = \angle FMB$, $\angle AFK = \angle BFM$ и сторона $AF = FB$. В российской терминологии это "по стороне и двум углам", хотя один из них не прилегает к стороне, но это эквивалентно). Строго говоря, по стороне и двум углам (AAS): сторона $AF$ равна стороне $FB$, угол $\angle FKA$ равен углу $\angle FMB$, и угол $\angle AFK$ равен углу $\angle BFM$. Следовательно, $\triangle AFK \cong \triangle BFM$.

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

• $BM = AK = 4$ см.
• $FM = FK = 7$ см.

4. Рассмотрим четырехугольник $MCKD$. Его стороны $MC$ и $KD$ лежат на прямых, содержащих основания трапеции, следовательно, $MC \parallel KD$. Найдем длины этих сторон:

• Длина стороны $MC$ равна сумме длин отрезков $MB$ и $BC$: $MC = MB + BC = 4 + 6 = 10$ см.
• Длина стороны $KD$ равна разности длин отрезков $AD$ и $AK$: $KD = AD - AK = 14 - 4 = 10$ см.

5. Мы получили, что в четырехугольнике $MCKD$ две противоположные стороны $MC$ и $KD$ параллельны и равны ($MC \parallel KD$ и $MC = KD = 10$ см). По признаку параллелограмма, четырехугольник $MCKD$ является параллелограммом.

6. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $CD = MK$. Длина отрезка $MK$ равна сумме длин отрезков $MF$ и $FK$: $MK = MF + FK = 7 + 7 = 14$ см.

Таким образом, длина стороны $CD$ равна 14 см.

Ответ: 14 см.