Номер 73, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. В равнобокой трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно 16 см, $\angle ABC = 120^\circ$. Через вершину $C$ трапеции проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая сторону $AD$ в точке $M$. Найдите периметр трапеции, если $MD = 12$ см.

73. В равнобокой трапеции ABCD меньшее основание BC равно 16 см, $\angle ABC = 120^{\circ}$. Через вершину C трапеции проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AD в точке M. Найдите периметр трапеции, если MD = 12 см.

По условию, $ABCD$ — трапеция, следовательно, её основания параллельны: $BC \parallel AD$. Через вершину $C$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает $AD$ в точке $M$. Таким образом, в четырехугольнике $ABCM$ противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel AM$ и $AB \parallel CM$), а значит, $ABCM$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AM = BC$ и $AB = CM$. Из условия известно, что $BC = 16$ см, следовательно, $AM = 16$ см.

Длина большего основания $AD$ состоит из двух отрезков: $AM$ и $MD$. $AD = AM + MD = 16 + 12 = 28$ см.

Трапеция $ABCD$ является равнобокой, поэтому её боковые стороны равны: $AB = CD$. Из свойств равнобокой трапеции также следует, что сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle BAD$: $\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Углы при основании равнобокой трапеции равны, поэтому $\angle CDA = \angle BAD = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $CMD$. Ранее мы установили, что $AB = CM$ (из параллелограмма $ABCM$) и $AB = CD$ (так как трапеция равнобокая). Отсюда следует, что $CD = CM$. Значит, треугольник $CMD$ является равнобедренным с основанием $MD$.

В треугольнике $CMD$ нам известен угол $\angle CDM$, который совпадает с углом $\angle CDA = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, но в $\triangle CMD$ равными сторонами являются $CD$ и $CM$, следовательно, углы, противолежащие им, равны: $\angle CMD = \angle CDM$. Таким образом, $\angle CMD = \angle CDM = 60^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle MCD = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$. Поскольку все углы в треугольнике $CMD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны: $CD = CM = MD$. Так как по условию $MD = 12$ см, то и $CD = 12$ см.

Теперь мы знаем длины всех сторон трапеции:

• Меньшее основание $BC = 16$ см.
• Большее основание $AD = 28$ см.
• Боковая сторона $CD = 12$ см.
• Боковая сторона $AB = CD = 12$ см.

Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 12 + 16 + 12 + 28 = 68$ см.

Ответ: 68 см.