Номер 70, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 14 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 3 : 1, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

70. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 14 см, а её высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание в отношении 3 : 1, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Средняя линия $m$ трапеции равна 14 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
$m = \frac{AD + BC}{2}$

Подставим известное значение средней линии:
$14 = \frac{AD + BC}{2}$
$AD + BC = 14 \cdot 2 = 28$ см.

Проведём высоту $CH$ из вершины тупого угла $C$ к большему основанию $AD$. Так как трапеция прямоугольная, то $AB \perp AD$ и $CH \perp AD$, следовательно, четырёхугольник $ABCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $AH = BC$.

По условию, высота $CH$ делит основание $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$ в отношении $3:1$, считая от вершины прямого угла $A$. Это означает, что $AH : HD = 3 : 1$.

Пусть длина отрезка $HD$ равна $x$ см. Тогда длина отрезка $AH$ равна $3x$ см.

Теперь выразим основания трапеции через $x$:
Меньшее основание: $BC = AH = 3x$.
Большее основание: $AD = AH + HD = 3x + x = 4x$.

Подставим эти выражения в ранее полученное равенство для суммы оснований:
$AD + BC = 28$
$4x + 3x = 28$
$7x = 28$
$x = \frac{28}{7} = 4$ см.

Теперь найдём длины оснований:
Меньшее основание: $BC = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.
Большее основание: $AD = 4x = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Ответ: основания трапеции равны 12 см и 16 см.