Номер 74, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 15 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

74. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 15 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию, большее основание $AD = 15$ см, а меньшее основание $BC = 9$ см.

Проведём высоту BH из вершины тупого угла B на большее основание AD. Высота BH делит основание AD на два отрезка: AH и HD. Нам нужно найти их длины.

Для наглядности проведём также вторую высоту CK из вершины C на то же основание AD. В равнобокой трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки. Это следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ (по гипотенузе $AB = CD$ и катету $BH = CK$). Следовательно, $AH = DK$.

Четырёхугольник HBCK является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ (а значит $BC \parallel HK$) и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$. Поэтому $HK = BC = 9$ см.

Большее основание AD состоит из трёх частей: $AD = AH + HK + DK$.

Так как $AH = DK$, мы можем записать выражение для длины большего основания как:$AD = AH + HK + AH = 2 \cdot AH + HK$

Теперь подставим известные значения в формулу:$15 = 2 \cdot AH + 9$

Решим полученное уравнение, чтобы найти длину отрезка AH:$2 \cdot AH = 15 - 9$$2 \cdot AH = 6$$AH = \frac{6}{2} = 3$ см.

Мы нашли длину одного из отрезков — он равен 3 см. Теперь найдём длину второго отрезка, HD.$HD = AD - AH$$HD = 15 - 3 = 12$ см.

Также можно найти HD, сложив отрезки HK и DK:$HD = HK + DK = 9 + 3 = 12$ см.

Таким образом, высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 3 см и 12 см.
Ответ: 3 см и 12 см.