Номер 84, страница 13 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Точка B окружности и её центр O лежат по разные стороны от хорды AC. Найдите:

1) угол ABC, если $ \angle AOC = 124^\circ $;

2) угол AOC, если $ \angle ABC = 94^\circ $.

84. Точка B окружности и её центр O лежат по разные стороны от хорды AC. Найдите:

1) угол ABC, если $\angle AOC = 124^\circ$;

2) угол AOC, если $\angle ABC = 94^\circ$.

Вписанный угол и центральный угол, опирающиеся на одну и ту же хорду, связаны определенными соотношениями. По условию, точка B и центр O лежат по разные стороны от хорды AC. Это означает, что центральный угол $\angle AOC$ опирается на меньшую дугу AC, а вписанный угол $\angle ABC$ опирается на большую дугу AC. Сумма градусных мер меньшей и большей дуг AC равна $360°$.

1) Найти $\angle ABC$, если $\angle AOC = 124°$.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусная мера меньшей дуги AC равна величине $\angle AOC$.

Градусная мера меньшей дуги $\cup AC = \angle AOC = 124°$.

Градусная мера большей дуги AC, на которую опирается вписанный угол $\angle ABC$, равна разности полной окружности и меньшей дуги:

Градусная мера большей дуги $\cup AC = 360° - 124° = 236°$.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом:

$\angle ABC = \frac{1}{2} \times 236° = 118°$.

Ответ: $118°$.

2) Найти $\angle AOC$, если $\angle ABC = 94°$.

Вписанный угол $\angle ABC$ опирается на большую дугу AC. Его величина равна половине градусной меры этой дуги. Следовательно, мы можем найти градусную меру большей дуги AC:

Градусная мера большей дуги $\cup AC = 2 \times \angle ABC = 2 \times 94° = 188°$.

Градусная мера меньшей дуги AC, на которую опирается центральный угол $\angle AOC$, равна разности полной окружности и большей дуги:

Градусная мера меньшей дуги $\cup AC = 360° - 188° = 172°$.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом:

$\angle AOC = 172°$.

Ответ: $172°$.