Страница 17 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Начертите произвольный отрезок $MN$ и постройте на нём точку $K$ такую, что $MK : KN = 2 : 3$.

113. Начертите произвольный отрезок $MN$ и постройте на нём точку $K$ такую, что $MK : KN = 2 : 3$.

Чтобы построить на отрезке MN точку K, которая делит его в отношении $MK : KN = 2 : 3$, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений:

1. Начертите произвольный отрезок MN.

2. Из точки M проведите произвольный луч l, не лежащий на прямой MN. Для удобства построения угол между отрезком MN и лучом l лучше сделать острым.

3. На луче l от точки M отложите с помощью циркуля 5 равных отрезков произвольной длины. Общее количество отрезков равно сумме чисел в отношении, то есть $2 + 3 = 5$. Обозначим полученные точки как $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$. Таким образом, мы имеем $MM_1 = M_1M_2 = M_2M_3 = M_3M_4 = M_4M_5$.

4. Соедините точку $M_5$ с точкой N, получив отрезок $M_5N$.

5. Теперь необходимо построить прямую, проходящую через точку $M_2$ (вторую точку, так как в отношении $MK:KN$ первая часть равна 2) и параллельную отрезку $M_5N$. Это можно сделать, построив угол при вершине $M_2$, равный углу $MM_5N$.

6. Точка пересечения построенной параллельной прямой с отрезком MN и будет искомой точкой K.

Обоснование:

По теореме Фалеса (обобщенной теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые ($M_2K$ и $M_5N$) пересекают стороны угла ($NML$), то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Следовательно, справедливо соотношение:

$ \frac{MK}{KN} = \frac{MM_2}{M_2M_5} $

По построению, отрезок $MM_2$ состоит из 2 равных частей, а отрезок $M_2M_5$ состоит из $5 - 2 = 3$ таких же частей. Таким образом:

$ \frac{MM_2}{M_2M_5} = \frac{2}{3} $

А значит, и $MK : KN = 2 : 3$, что и требовалось построить.

Иллюстрация процесса построения:

Ответ:

Точка K построена на отрезке MN и делит его в заданном отношении $MK : KN = 2 : 3$.

114. Параллельные прямые $a$ и $b$ пересекают стороны угла $AOF$ (рис. 18). Найдите отрезок $OD$, если $OC = 4$ см, $BC = 6$ см, $DE = 9$ см.

Рис. 18

114. Параллельные прямые $a$ и $b$ пересекают стороны угла $AOF$ (рис. 18). Найдите отрезок $OD$, если $OC = 4 \text{ см}$, $BC = 6 \text{ см}$, $DE = 9 \text{ см}$.

Рис. 18

По условию задачи, параллельные прямые a и b пересекают стороны угла $AOF$. Из рисунка видно, что прямая a проходит через точки $B$ и $E$, а прямая b — через точки $C$ и $D$. Следовательно, прямая $BE$ параллельна прямой $CD$ ($BE \parallel CD$).

Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Это означает, что отношение отрезков, отсекаемых на одной стороне угла, равно отношению соответствующих отрезков на другой стороне. В данном случае справедливо следующее соотношение: $ \frac{OC}{BC} = \frac{OD}{DE} $

В условии задачи даны следующие длины отрезков: $OC = 4$ см, $BC = 6$ см, $DE = 9$ см.

Подставим известные значения в пропорцию, обозначив искомую длину отрезка $OD$ переменной $x$: $ \frac{4}{6} = \frac{x}{9} $

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $ 6 \cdot x = 4 \cdot 9 $ $ 6x = 36 $ $ x = \frac{36}{6} $ $ x = 6 $

Таким образом, длина искомого отрезка $OD$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.

115. Параллельные прямые $b$, $m$ и $n$ пересекают стороны угла $MAN$ (рис. 19). Найдите отрезки $AB_1$ и $BD$, если $AB = 4$ см, $CD = 8$ см, $B_1C_1 = 5$ см, $C_1D_1 = 6$ см.

Рис. 19

115. Параллельные прямые $b$, $m$ и $n$ пересекают стороны угла $MAN$ (рис. 19). Найдите отрезки $AB_1$ и $BD$, если $AB = 4$ см, $CD = 8$ см, $B_1C_1 = 5$ см, $C_1D_1 = 6$ см.

Рис. 19

Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне.

Для угла MAN, стороны которого пересечены параллельными прямыми b, m и n, справедливо следующее соотношение для отрезков на сторонах AM и AN:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{AB_1}{B_1C_1} $ и $ \frac{BC}{CD} = \frac{B_1C_1}{C_1D_1} $

Из этих пропорций можно также вывести, что отношение любых двух отрезков на одной стороне равно отношению соответствующих отрезков на другой стороне. Например:

$ \frac{AB}{CD} = \frac{AB_1}{C_1D_1} $

Нахождение отрезка AB₁

Для нахождения длины отрезка $AB_1$ воспользуемся пропорцией, связывающей известные отрезки $AB$, $CD$ и $C_1D_1$ с искомым отрезком $AB_1$:

$ \frac{AB}{CD} = \frac{AB_1}{C_1D_1} $

Подставим известные из условия значения: $AB = 4$ см, $CD = 8$ см, $C_1D_1 = 6$ см.

$ \frac{4}{8} = \frac{AB_1}{6} $

Упростим левую часть дроби:

$ \frac{1}{2} = \frac{AB_1}{6} $

Теперь выразим $AB_1$:

$ AB_1 = \frac{6}{2} = 3 $ см.

Ответ: $AB_1 = 3$ см.

Нахождение отрезка BD

Отрезок $BD$ является суммой отрезков $BC$ и $CD$. Длина отрезка $CD$ дана в условии ($CD = 8$ см). Следовательно, для нахождения $BD$ нам сначала нужно найти длину отрезка $BC$.

1. Найдем $BC$ из пропорции $ \frac{BC}{CD} = \frac{B_1C_1}{C_1D_1} $.

Подставим известные значения: $CD = 8$ см, $B_1C_1 = 5$ см, $C_1D_1 = 6$ см.

$ \frac{BC}{8} = \frac{5}{6} $

Выразим $BC$:

$ BC = \frac{8 \cdot 5}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} $ см.

2. Теперь найдем длину отрезка $BD$, сложив длины отрезков $BC$ и $CD$:

$ BD = BC + CD = \frac{20}{3} + 8 $

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$ BD = \frac{20}{3} + \frac{24}{3} = \frac{44}{3} $ см.

Для удобства можно представить ответ в виде смешанного числа: $ \frac{44}{3} = 14 \frac{2}{3} $ см.

Ответ: $BD = 14 \frac{2}{3}$ см.

116. Параллельные прямые c и d пересекают стороны угла $\angle BAC$ (рис. 20). Найдите отрезок $DE$, если $AD = 4 \text{ см}$, $D_1E_1 = 16 \text{ см}$ и $DE = AD_1$.

Рис. 20

116. Параллельные прямые c и d пересекают стороны угла $\angle BAC$ (рис. 20). Найдите отрезок $DE$, если $AD = 4$ см, $D_1E_1 = 16$ см и $DE = AD_1$.

Рис. 20

Согласно условию задачи и приложенному рисунку, прямые c и d параллельны. Эти прямые пересекают стороны угла BAC в точках D, D₁ и E, E₁ соответственно. Таким образом, мы имеем две параллельные прямые $DD_1$ и $EE_1$, которые пересекаются двумя прямыми AB и AC, выходящими из одной точки A.

Эта геометрическая конфигурация образует два подобных треугольника: $\triangle ADD_1$ и $\triangle AEE_1$. Их подобие следует из первого признака подобия треугольников (по двум углам): угол $\angle DAD_1$ (или $\angle A$) является общим для обоих треугольников, а углы $\angle ADD_1$ и $\angle AEE_1$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $DD_1$ и $EE_1$ и секущей AE.

Из подобия треугольников $\triangle ADD_1 \sim \triangle AEE_1$ следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{AD}{AE} = \frac{AD_1}{AE_1} $$

В задаче даны следующие значения: $AD = 4$ см, $D_1E_1 = 16$ см, и соотношение $DE = AD_1$. Нам необходимо найти длину отрезка $DE$. Обозначим искомую длину $DE$ через $x$. Тогда $AD_1$ также равно $x$. Теперь выразим длины отрезков $AE$ и $AE_1$ через известные величины и $x$:
$AE = AD + DE = 4 + x$
$AE_1 = AD_1 + D_1E_1 = x + 16$

Подставим эти выражения в нашу пропорцию: $$ \frac{4}{4 + x} = \frac{x}{x + 16} $$

Решим полученное уравнение. Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$4 \cdot (x + 16) = x \cdot (4 + x)$
$4x + 64 = 4x + x^2$
Вычитая $4x$ из обеих частей, получаем:
$x^2 = 64$

Поскольку $x$ представляет длину отрезка, оно должно быть положительным числом. Следовательно, $x = \sqrt{64} = 8$. Таким образом, искомая длина отрезка $DE$ равна 8 см.

Ответ: 8 см.

117. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $AC = 16$ см. Точка $M$ — середина катета $BC$. Найдите расстояние от точки $M$ до гипотенузы $AB$.

117. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $AC = 16$ см. Точка $M$ — середина катета $BC$. Найдите расстояние от точки $M$ до гипотенузы $AB$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$ и катетом $AC = 16$ см. Точка $M$ — середина катета $BC$. Требуется найти расстояние от точки $M$ до гипотенузы $AB$.

1. Сначала найдем величину угла $B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для прямоугольного треугольника $ABC$:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Теперь найдем длину катета $BC$, противолежащего углу $A$. Мы можем использовать определение тангенса в прямоугольном треугольнике $ABC$:
$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$
Отсюда $BC = AC \cdot \tan(\angle A)$. Подставляем известные значения:
$BC = 16 \cdot \tan(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см.

3. По условию, точка $M$ является серединой катета $BC$. Следовательно, длина отрезка $MB$ равна половине длины катета $BC$:
$MB = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

4. Расстояние от точки $M$ до гипотенузы $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на гипотенузу $AB$. Обозначим этот перпендикуляр $MH$, где точка $H$ лежит на $AB$. Таким образом, $\triangle MHB$ является прямоугольным треугольником, так как $\angle MHB = 90^\circ$.

5. В прямоугольном треугольнике $MHB$ мы знаем гипотенузу $MB = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см и острый угол $\angle B = 60^\circ$. Искомое расстояние $MH$ является катетом, противолежащим углу $B$. Используем определение синуса:
$\sin(\angle B) = \frac{MH}{MB}$
Отсюда $MH = MB \cdot \sin(\angle B)$. Подставляем известные значения:
$MH = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sin(60^\circ)$
Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$MH = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

118. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $BC = 8$ см. Через середину стороны $AC$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $BC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

118. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $BC = 8$ см. Через середину стороны $AC$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $BC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

Пусть $M$ — середина стороны $AC$ в треугольнике $ABC$. Через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$, которая пересечет сторону $BC$ в точке $K$. Также через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $BC$, которая пересечет сторону $AB$ в точке $N$. Таким образом, мы получаем четырехугольник $NBMK$.
Рассмотрим данный четырехугольник. По построению, сторона $MN$ параллельна стороне $BC$ (а значит, и отрезку $BK$), а сторона $MK$ параллельна стороне $AB$ (а значит, и отрезку $NB$). Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $NBMK$ — параллелограмм.
Теперь найдем длины сторон этого параллелограмма. Рассмотрим отрезок $MK$. Так как он проходит через середину стороны $AC$ (точку $M$) и параллелен стороне $AB$, то $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна.
$MK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Аналогично, рассмотрим отрезок $MN$. Он проходит через середину стороны $AC$ (точку $M$) и параллелен стороне $BC$. Следовательно, $MN$ также является средней линией треугольника $ABC$.
$MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Периметр параллелограмма $NBMK$ равен удвоенной сумме длин его смежных сторон:
$P_{NBMK} = 2 \cdot (MK + MN) = 2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Ответ: 14 см.