Номер 116, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Параллельные прямые c и d пересекают стороны угла $\angle BAC$ (рис. 20). Найдите отрезок $DE$, если $AD = 4 \text{ см}$, $D_1E_1 = 16 \text{ см}$ и $DE = AD_1$.

Рис. 20

116. Параллельные прямые c и d пересекают стороны угла $\angle BAC$ (рис. 20). Найдите отрезок $DE$, если $AD = 4$ см, $D_1E_1 = 16$ см и $DE = AD_1$.

Рис. 20

Согласно условию задачи и приложенному рисунку, прямые c и d параллельны. Эти прямые пересекают стороны угла BAC в точках D, D₁ и E, E₁ соответственно. Таким образом, мы имеем две параллельные прямые $DD_1$ и $EE_1$, которые пересекаются двумя прямыми AB и AC, выходящими из одной точки A.

Эта геометрическая конфигурация образует два подобных треугольника: $\triangle ADD_1$ и $\triangle AEE_1$. Их подобие следует из первого признака подобия треугольников (по двум углам): угол $\angle DAD_1$ (или $\angle A$) является общим для обоих треугольников, а углы $\angle ADD_1$ и $\angle AEE_1$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $DD_1$ и $EE_1$ и секущей AE.

Из подобия треугольников $\triangle ADD_1 \sim \triangle AEE_1$ следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{AD}{AE} = \frac{AD_1}{AE_1} $$

В задаче даны следующие значения: $AD = 4$ см, $D_1E_1 = 16$ см, и соотношение $DE = AD_1$. Нам необходимо найти длину отрезка $DE$. Обозначим искомую длину $DE$ через $x$. Тогда $AD_1$ также равно $x$. Теперь выразим длины отрезков $AE$ и $AE_1$ через известные величины и $x$:
$AE = AD + DE = 4 + x$
$AE_1 = AD_1 + D_1E_1 = x + 16$

Подставим эти выражения в нашу пропорцию: $$ \frac{4}{4 + x} = \frac{x}{x + 16} $$

Решим полученное уравнение. Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$4 \cdot (x + 16) = x \cdot (4 + x)$
$4x + 64 = 4x + x^2$
Вычитая $4x$ из обеих частей, получаем:
$x^2 = 64$

Поскольку $x$ представляет длину отрезка, оно должно быть положительным числом. Следовательно, $x = \sqrt{64} = 8$. Таким образом, искомая длина отрезка $DE$ равна 8 см.

Ответ: 8 см.