Номер 110, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Средняя линия трапеции равна 14 см, а периметр – 56 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

110. Средняя линия трапеции равна 14 см, а периметр – 56 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Согласно свойству описанного четырехугольника, в выпуклый четырехугольник (в частности, в трапецию) можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$ и $d$. Нам необходимо доказать, что выполняется равенство: $a + b = c + d$.

1. Найдем сумму оснований трапеции. Длина средней линии трапеции $m$ равна полусумме ее оснований:

$m = \frac{a+b}{2}$

По условию задачи $m = 14$ см. Подставим это значение в формулу:

$14 = \frac{a+b}{2}$

Отсюда найдем сумму оснований:

$a + b = 14 \cdot 2 = 28$ см.

2. Найдем сумму боковых сторон трапеции. Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон:

$P = a + b + c + d$

По условию задачи $P = 56$ см. Мы уже нашли, что сумма оснований $a+b = 28$ см. Подставим известные значения в формулу периметра:

$56 = 28 + (c + d)$

Отсюда найдем сумму боковых сторон:

$c + d = 56 - 28 = 28$ см.

3. Сравним суммы противоположных сторон.

Сумма оснований: $a+b = 28$ см.

Сумма боковых сторон: $c+d = 28$ см.

Так как $a+b = c+d$, то условие для вписанной в четырехугольник окружности выполняется. Следовательно, в данную трапецию можно вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В трапецию можно вписать окружность, так как сумма ее оснований (28 см) равна сумме ее боковых сторон (28 см).